Geometrische und analytische Zahlentheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Valentin Blomer; Professor Dr. Jörg Brüdern; Professor Dr. Ulrich Derenthal
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 255083470

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das zentrale Ziel des Projekts “Geometrische und analytische Zahlentheorie” war die Entwicklung und Anwendung geometrischer und analytischer Techniken zur Lösung zahlentheoretischer Problemstellungen. Eine beträchtliche Anzahl von Veröffentlichungen in hochrangigen Fachzeitschriften dokumentiert wesentliche Fortschritte in einer Vielzahl von Aspekten, von denen wir eine repräsentative Auswahl herausgreifen: Die Analysis von mehrdimensionalen Charakter- und Exponentialsummen, die auf tiefgreifenden Ergebnissen der algebraischen Geometrie beruht, wurde auf eine Vielzahl von Problemen der Zahlentheorie angewandt, insbesondere auf analytische Eigenschaften von L-Funktionen. Unter Verwendung einer Kombination von analytischen und algebraischen Argumenten wurden neue Fälle der Manin-Vermutung bewiesen, die nach der asymptotischen Verteilung von rationalen Punkten auf algebraischen Varietäten fragt. Für ganze Punkte wurden Ergebnisse bezüglich ihrer Verteilung, des Hasse-Prinzips, der Brauer-Manin-Hindernisse und der arithmetischen Reinheit der starken Approximation erzielt. Das Phänomen der spektralen Reziprozitätsformeln für L-Funktionen wurde beobachtet, systematisch entwickelt und u.a. auf Subkonvexitätsergebnisse für L-Funktionen angewandt. Erstmals wurde eine höherrangige Version der Sarnakschen Dichtevermutung gefunden, die eine Interpolationsschranke für die Anzahl der möglichen exzeptionellen Eigenwerte auf arithmetisch lokal symmetrischen Räumen liefert.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Arithmetic purity of strong approximation for semi-simple simply connected groups. Compositio Mathematica, 156(12), 2628-2649.
  Cao, Yang & Huang, Zhizhong
  
• The split torsor method for Manin’s conjecture. Transactions of the American Mathematical Society, 373(12), 8485-8524.
  Derenthal, Ulrich & Pieropan, Marta
  
• A symplectic restriction problem. Mathematische Annalen, 382(3-4), 1323-1424.
  Blomer, Valentin & Corbett, Andrew
  
• Uniform Titchmarsh divisor problems. Advances in Mathematics, 393(2021, 12), 108076.
  Assing, Edgar; Blomer, Valentin & Li, Junxian
  
• Density theorems for GL(n). Inventiones mathematicae, 232(2), 683-711.
  Blomer, Valentin
  
• INTEGRAL POINTS ON SINGULAR DEL PEZZO SURFACES. Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 23(3), 1259-1294.
  Derenthal, Ulrich & Wilsch, Florian
  
• On Waring’s problem for larger powers. Journal für die reine und angewandte Mathematik relles Journal), 0(0).
  Brüdern, Jörg & Wooley, Trevor D.
  
• Simultaneous equidistribution of toric periods and fractional moments of $L$-functions. Journal of the European Mathematical Society, 26(8), 2745-2796.
  Blomer, Valentin & Brumley, Farrell
  
• The Weyl bound for triple product L-functions. Duke Mathematical Journal, 172(6).
  Blomer, Valentin; Jana, Subhajit & Nelson, Paul D.
  
• The Manin–Peyre conjecture for smooth spherical Fano varieties of semisimple rank one. Forum of Mathematics, Sigma, 12(2024).
  Blomer, Valentin; Brüdern, Jörg; Derenthal, Ulrich & Gagliardi, Giuliano