Variable separation without preselection and non-spectral relaxation in Fokker-Planck and generalized Fokker-Planck equations
Final Report Abstract
Die Relaxation der Observablen von einem physikalischen stochastischen System zu ihren stationären Werten (oder Gleichgewichtswerten) erfolgt oft nach einem multi-exponentiellen Muster. Die entsprechenden Relaxationsraten, d.h. die zeitlichen Dekremente in den entsprechenden Exponenten, werden normalerweise mit dem Spektrum des Fokker-Planck-Operators gleichgesetzt, wodurch das System sich beschreiben lässt. Dieses Spektrum kann oft durch die Abbildung der Fokker-Planck-Gleichung auf eine Schrödinger-Gleichung (in imaginärer Zeit) bestimmt werden. Das ist eine gängige Methode, da sich so die bekannten Lösungen aus bekannten Quellen der Quantenmechanik berechmen lassen. Diese lassen sich dann in eine andere Sprache übersetzen, ohne irgendwelche neue Rechnungen machen zu müssen. In den meisten Fällen funktioniert diese Methode, und uns war, vor unserer Arbeit an dem Problem, das zur Formulierung des Projektes geführt hat, keine Quelle bekannt, die zur Vorsicht gemahnt hatte. Solche Vorsicht ist aber geboten, und die Relaxation einiger Anfangsbedingungen wird durch die Raten beschrieben, die nicht im Spektrum der entsprechenden Schrödinger-Gleichung enthalten sind (nicht-spektrale Raten). Solche Raten entstehen auch in üblichen Systemen mit Gauß’schem Rauschen, z.B. in dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, dem seit mehr als 80 Jahre bekannten Modell mit exponentiellen Relaxationen, sind aber bei solchen Modellen eher eine exotische Erscheinung. In Modellen mit Levy-Rauschen, die immer mehr ins Blickfeld der Forscher geraten (z.B. in Verbindung mit der Dynamik des Klimas), sind solche Situationen die Regel. Die Natur der nicht-spektralen Raten kann dadurch erklärt werden, dass einige, ganz unverdächtige, Anfangsbedingungen für die Fokker-Planck-Gleichung oder ihre Verallgemeinerung auf Levy-Prozesse, auf die im Unendlichen wachsende Anfangsbedingungen für die Schrödinger-Gleichung abgebildet werden. Diese sind in der Quantenmechanik verboten, und können nicht durch die gängigen Spektralmethoden beschrieben werden. Das Projekt wurde der theoretischen Erforschung solcher Situationen gewidmet, und hat die Eigenschaften der Spektren der entsprechenden Systeme, die Natur der nicht-spektralen Zerfallsmuster, und den Weg zur mathematischen Lösung entsprechender Probleme (Variablentrennung ohne Pre-Selektion) am Beispiel des Levy-Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses weitgehend geklärt. Bei numerischen Simulation der entsprechenden Systeme sind wir auf Komplikationen gestoßen, die uns über die Methoden des robusten Fittings nachdenken ließen. Diese Methoden (z.B. in der Variante der Wavelet-Transformation des komplexifizierten Signals) wenden wir nun in unserer weiteren Arbeit an. Diese weitere Arbeit kann zu praktisch anwendbaren Rezepten zur Rekonstruktion räumlicher Verteilungen der Diffusionskoeffizienten in einem komplexen System (z.B. in Membran einer Zelle) führen. Während des Finanzierungszeitraums wurden außerdem Arbeiten zu zwei anderen Themen gemacht. Eine beschäftigt sich mit der mean-field-Beschreibung der Teilchenbewegung auf ungeordneten Netzwerken mit langreichweitigen Verbindungen, und ist methodisch (aber weniger thematisch) mit den oben diskutierten Problemen verbunden. Die andere ist über die Eigenschaften der zeitlichen Mittelwerte in continuous-time random walks und verwandten Prozessen, und hat keine direkte Verbindung zu dem ursprünglichen Projekt. Diese Arbeit bildet thematisch einen Abschluss des Themenkreises, den der durch das Projekt finanzierte Postdok, Dr. Felix Thiel, in seiner Doktorarbeit bearbeitet hat.
Publications
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Robust linear regression with broad distribution of errors, Physica A 434, 257-267 (2015)
E.B. Postnikov and I.M. Sokolov
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Nonspectral rates and how to find them in the Ornstein-Uhlenbeck process with μ-stable noise, Phys. Rev. E 93, 052104 (2016)
F. Thiel, I.M. Sokolov and E.B. Postnikov
