Numerische Simulation der Ausbreitung transientelektromagnetischer Felder zur Erkundung des Untergrundes

• Applicant: Professor Dr. Klaus Spitzer
• Subject Area: Geophysics and Geodesy
• Term: from 2006 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 25985191

• Final Report Year: 2011

Final Report Abstract

Elektromagnetische Methoden haben bei der geophysikalischen Erkundung von Kohlenwasserstoffen, mineralischen Bodenschätzen und geothermischen Ressourcen sowie bei der Speicherung von CO2 in den letzten Jahren enorm an Bedeutung gewonnen. Ziel der Methoden ist es, Hinweise auf unterirdische Strukturen und Prozesse aus der räumlichen Verteilung der elektrischen Leitfähigkeit zu gewinnen. Transientelektromagnetische Methoden (TEM) stellen dabei eine zeitabhängige Variante der elektromagnetischen Verfahren dar, deren physikalisches Verhalten in einer komplexen Umwelt nur mit Hilfe von dreidimensionalen numerischen Computersimulationsmethoden zu verstehen und zu interpretieren ist. Die Entwicklung effizienter Algorithmen ist daher die Hauptaufgabe dieses Projekts. Zur Auswertung der meist mit hohem finanziellen Aufwand gewonnenen Messdaten ist bei dieser Methode eine Parameteridentifikation erforderlich, ein mathematisches Verfahren, bei dem aus gemessenen elektromagnetischen Felddaten die räumliche elektrische Leitfähigkeitsverteilung im oberflächennahen Bereich, d.h. im Boden und in der Erdkruste, rekonstruiert wird. Entscheidender Bestandteil bei diesen Verfahren ist die Lösung des sog. Vorwärtsproblems, bei dem aus vorgegebenen elektromagnetischen Quellen und Leitfähigkeitsverteilungen die resultierenden Felder zu berechnen sind. Sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich führt die numerische Lösung des Vorwärtsproblems auf die Auswertung von Matrixfunktionen für sehr große, dünn besetzte Matrizen. In einem Gemeinschaftsprojekt mit dem Freiberger Institut für Geophysik und Geoinformatik werden am Institut für Numerische Mathematik und Optimierung seit drei Jahren schnelle Verfahren zur Auswertung von Matrixfunktionen entwickelt. Grundlage der entwickelten Algorithmen sind polynomielle und rationale Krylov-Unterraumverfahren, welche im Zeitbereich eine deutliche Beschleunigung gegenüber herkömmlichen Zeitintegrationsverfahren ermöglichen und im Frequenzbereich einen Modellreduktionsansatz bieten, mit dem das problemrelevante Frequenzintervall mit dem Aufwand von wenigen Frequenzbereichslösungen des vollen (unreduzierten) Modells abgebildet werden kann. Für die räumliche Diskretisierung werden auf Nédélec zurückgehende Finite-Element-Diskretisierungen auf unstrukturierten Gittern eingesetzt in Kombination mit Fortsetzungsrandbedingungen, die eine aufwändige Vernetzung des Lufthalbraums überflüssig machen. In einer funktionierenden, disziplinübergreifenden Zusammenarbeit zwischen Mathematikern und Geophysikern werden bei diesem Projekt neueste Erkenntnisse der numerischen Mathematik in geophysikalische Simulationssoftware integriert, welche die dreidimensionale Parameteridentifikation für die TEM bald zu einem vielseitig einsetzbaren Werkzeug werden lässt.

Publications

• A restarted Krylov subspace method for the evaluation of matrix functions. SIAM J. Numer. Anal., 44:2481–2504, 2006
  Michael Eiermann and Oliver G. Ernst
  
• Krylov Subspace Approximation for TEM Simulation in the Time Domain. 4th International Symposium on Three-Dimensional Electromagnetics, Sep 27 – 30, 2007, Freiberg, Germany, p. 3 – 6
  M. Afanasjew, O. G. Ernst, S. Güttel, M. Eiermann, R.-U. Börner and K. Spitzer
  
• A generalization of the steepest descent method for matrix functions. Elec. Trans. Numer. Anal., 28:206–222, 2008
  Martin Afanasjew, Michael Eiermann, Oliver G. Ernst, and Stefan Güttel
  
• Fast 3-D simulation of transient electromagnetic fields by model reduction in the frequency domain using Krylov subspace projection. SEG Technical Program Expanded Abstracts, 27:1 (2008) pp. 594–598
  R.-U. Börner, O. G. Ernst and K. Spitzer
  
• Fast 3D simulation of transient electromagnetic fields by model reduction in the frequency domain using Krylov subspace projection. Geophysical Journal International, 173(3):766–780, 2008
  Ralph-Uwe Börner, Oliver G. Ernst, and Klaus Spitzer
  
• Implementation of a restarted Krylov subspace method for the evaluation of matrix functions. Linear Algebra and its Applications, 429(10):2293–2314, 2008
  M. Afanasjew, M. Eiermann, O. G. Ernst, and S. Güttel
  
• Numerical Modelling in Geo-Electromagnetics: Advances and Challenges. Surveys in Geophysics, 31(2):225–245, 2010
  Ralph-Uwe Börner
  
• On the convergence of rational Ritz values. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 31:1740–1774, 2010
  Bernhard Beckermann, Stefan Güttel, and Raf Vandebril