Effizienter Einsatz erweiterter Waveletbasen zur Analyse planarer Schaltungen
Final Report Abstract
Bei der Berechnung elektromagnetischer Felder mit der Momentenmethode stößt man beim Einsatz von Standardbasen schnell an Grenzen. Zum einen steigt der Rechenaufwand aufgrund der voll besetzten Systemmatrix quadratisch mit der Anzahl der Unbekannten, zum anderen sind die Systemmatrizen zum Teil schlecht konditioniert, was den Aufwand beim Lösen des Gleichungssystems zusätzlich erhöht und den Einfluss von fehlerhaften Matrixeinträgen auf das Ergebnis vergrößert. Der Einsatz von Waveletbasen bietet die Möglichkeit, die Komplexität der Momentenmethode zu verringern. Wavelets ermöglichen eine hierarchische Darstellung der Information sowohl im Lösungsvektor als auch in der Systemmatrix. Dank der Eigenschaften von Wavelets konzentriert sich die Information auf nur wenige relevante Einträge. Zudem hat sich in diesem Vorhaben gezeigt, dass Waveletbasen für eine Vorkonditionierung der Matrix eingesetzt werden können, was den Aufwand für das Lösen und die Auswirkungen des Weglassens von kleinen Einträgen auf den Fehler im Ergebnis deutlich verringert. Bisherige Verfahren haben bereits eine breite Palette an Anwendungen ermöglicht und gezeigt, dass der Einsatz von Wavelets eine signifikante Ausdünnung der Reaktionsmatrix erlaubt. In diesem Projekt wurden Wavelets für beliebig geformte Strukturen, die sich durch unregelmäßige Gitter beschreiben lassen, näher untersucht. Die Nutzung von Wavelets setzt dabei immer die Definition einer Skalierungsfunktion in einem Multiresolution-Raum voraus. Hierbei wurden die Fälle allgemeiner (insbesondere unregelmäßiger) Dreiecks- und Vierecksgitter sowie gemischte Gitter, die Übergänge zwischen diesen beiden Grundformen enthalten, untersucht. Für jeden Fall wurden Skalierungsfunktionen gefunden. Darauf aufbauend konnten Waveletbasen definiert werden. Bei der Auswahl der Waveletbasis ergeben sich gewisse Freiheiten, die man nutzen kann, um bestimmte Eigenschaften der Basis zu erhalten. Es können daher unterschiedliche Waveletbasen aufgestellt werden. Dabei unterscheiden sich für jeden Einzelfall die Eigenschaften der Wavelets je nach Typ und Gittereigenschaften teils erheblich. Es wurde daher der Einfluss der Waveleteigenschaften auf die erreichbare Matrixausdünnung und schließlich auch auf den erwarteten Ergebnisfehler untersucht. Eine zunächst nicht im Vordergrund stehende Matrixeigenschaft, nämlich ihre Konditionierung, erwies sich dabei als wesentlich. Durch die geeignete Wahl der Waveletbasis ist es gelungen, die Konditionszahl der Matrix, die insbesondere im Fall niedriger Frequenzen (oder feiner Diskretisierung) stark ansteigt, auf einen konstanten, niedrigen Wert zu stabilisieren. Diese implizite Matrixvorkonditionierung durch die Wavelettransformation ist dabei ein wesentlicher Beitrag zur Erweiterung der Einsetzbarkeit von Wavelets, da sie den durch eine Matrixausdünnung in der Lösung hervorgerufenen Fehler minimiert. Außer der Auswahl von geeigneten Waveletbasen konnte eine flexible und nur lokal wirkende Wavelettransformation gefunden werden. Diese in-place-Transformation verzichtet komplett auf eine Transformationsmatrix und erlaubt sowohl eine partielle als auch eine vollständige Waveletzerlegung mit einer adaptiven Auswahl der Wavelets. Sie ist zudem schnell. Es wurde außerdem nach einem Verfahren gesucht, die Reaktionen zwischen Wavelets vorherzusagen. Dabei wurde ein einheitliches Verfahren gefunden, das unabhängig von der gewählten Waveletbasis und dem zugrundeliegenden Gitter einsetzbar ist. Dafür kam eine kartesische Multipolentwicklung zum Einsatz. Diese ist in der Lage, Reaktionen zwischen beliebigen Wavelets (und anderen Funktionen) für beliebige Potentiale zu berechnen. Eine Abschätzung ergibt sich, wenn man nur den dominanten Term berücksichtigt. Mithilfe dieser 2 sehr schnellen Abschätzung ist es möglich die relevanten Einträge in der transformierten Reaktionsmatrix im Voraus zu identifizieren. Zusammen mit der in-place-Transformationsvorschrift ergibt sich für die Berechnung dann eine Zeitersparnis, da nicht mehr die gesamte Reaktionsmatrix aufgestellt werden muss. Eine Erweiterung der durchgeführten Arbeiten erscheint im Wesentlichen in zwei Bereichen erstrebenswert. Zum einen könnte untersucht werden, wie der Prozess der Wavelettransformation und das Aufstellen der Matrix weiter beschleunigt werden können. Zum anderen ist es denkbar, für weitere Basisfunktionen geeignete Wavelets mit guten Eigenschaften zu finden. Für die eigentliche Wavelettransformation sind folgende Ansätze denkbar: Mittels der entwickelten in-place-Transformationsvorschrift könnte ein top-down-Ansatz für die Berechnung der Reaktionsmatrix entwickelt werden. Hier würden beginnend mit den Beiträgen auf dem groben Gitter nur diejenigen Reaktionen berechnet, die für die Matrix im Waveletraum nach der Ausdünnung mit einer gegebenen Schwelle auch wirklich notwendig sind. Da die Transformationsvorschrift lokal wirkt, könnte hier auch eine adaptive Gitterverfeinerung untersucht werden. Dabei würden mit Hilfe einer schnell ermittelten groben Lösung und eines zu findenden a posteriori Kriteriums solche Bereiche im Gitter identifiziert, die für eine höhere Genauigkeit der Lösung noch weiter verfeinert werden müssen. Das würde einem hierarchischen Füllen der Waveletmatrix entsprechen, wobei adaptiv entschieden wird, welche Bereiche der Matrix weiter verfeinert werden sollen. Weitere Klassen von Waveletbasen könnten untersucht werden, insbesondere solche mit Vorkonditionierungseigenschaften. Dazu könnten die bisherigen Ergebnisse auf weitere Gittertypen übertragen werden. Zudem könnte eine Untersuchung von Basisfunktionen höherer Ordnung erfolgen. Auch Gitter mit geometrischen Elementen höherer Ordnung könnten untersucht werden, da sie eine bessere räumliche Diskretisierung der Struktur mit weniger Elementen ermöglichen.
Publications
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Wavelets on nonuniform triangular meshes for fast basis transform. 18th Int. Conf. on Microwave Radar and Wireless Communications, MIKON 2010, Jun. 2010, S. 1–4
M. Ambrozkiewicz, A. F. Jacob
