Expansion principles of topological automorphic forms
Final Report Abstract
Das Studium elliptischer Kohomologie der vergangenen drei Jahrzehnte kulminierte in der Konstruktion des Spektrums TMF von topologischen Modulformen. Die Grundidee hierbei ist das Verkleben der ,,lokalen” elliptischen Theorien zu einem „globalen” Objekt. Die Definition oder abstrakte Kon struktion von TAF-Spektren, also topologischen automorpher Formen ist eine natürliche Verallgemeinerung dieser (universellen) globalen Konstruk tion. Man beachte, dass es zuvor kein vergleichbares Studium ,,lokaler” Kohomologietheorien von TAF-Typ gab. Dies liegt zum einem am besseren Verständnis, welches man von elliptischen Kurven im Gegensatz zu höherdimensionalen abelschen Varietäten hat, zum anderen führt es jedoch zu einem eklatanten Mangel an Beispielen für Kohomologietheorien vom TAF-Typ. In diesem Forschungsprojekt wurden mehrere solcher ,,lokaler” Beispieltheorien an verschiedenen Zahlkörpern (mit und ohne Levelstruktur) explizit konstruiert. Es wurde ein Zugang über Kurvenfamilien gewählt, der mittels Kurvengleichung die Beschreibung eines ausgezeichneten Differentials,und a fortiori auch die Konstruktion eines p-lokalen Geschlechts in einen Ring automorpher Formen erlaubt. Die Ergebnisse liefern Beispiele für TAF-Theorien der chromatischen Höhen zwei und (erstmals auch) drei, und sind auf Grund ihrer Explizität hervor ragend für (künftige) Rechnungen z.B. in TAF-basierten Spektralsequenzen geeignet.
