Neue Beispiele für logarithmische Ringspektren

• Antragstellerin: Professorin Dr. Birgit Richter, seit 5/2016
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 269440134

Ringe spielen in vielen Bereichen der reinen Mathematik eine grundlegende Rolle, etwa als Zahlbereiche in der Zahlentheorie oder als Bausteine geometrischer Objekte in der algebraischen Geometrie. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen von Ringen, von denen zwei für dieses Projekt eine wichtige Rolle spielen: Einerseits sind dies die in der homologischen Algebra auftretenden Differentialalgebren, die durch Kettenkomplexe mit kompatibler Ringstruktur gegeben sind und die eine typische Quelle von Homologiealgebren sind. Andererseits sind wir an den strukturierten Ringspektren der algebraischen Topologie interessiert, die multiplikative Kohomologietheorien repräsentieren und dabei auch Differentialalgebren als Spezialfälle umfassen. In beiden Situationen verlangen wir, dass die Multiplikation kommutativ ist bis auf kohärente Homotopien.Ziel dieses Projekts ist es, eine geeignete Definition von Differentialalgebren mit einer sogenannten logarithmischen Struktur zu finden und Beispiele sowie strukturelle Resultate für diese neuen Objekte zu entwickeln. Logarithmische Strukturen auf gewöhnlichen Ringen wurden ursprünglich in der algebraischen Geometrie eingeführt, unter anderem um den Begriff von glatten Abbildungen zu erweitern. In den letzten Jahren wurde das Konzept logarithmischer Strukturen erfolgreich auf strukturierte Ringspektren verallgemeinert, wo es für die Untersuchung arithmetischer Eigenschaften benutzt werden kann.Die in diesem Projekt behandelten Differentialalgebren mit logarithmischen Strukturen sind einerseits interessant, weil sie neue Beispiele strukturierter Ringspektren mit logarithmischen Strukturen geben und damit dazu beitragen werden, diese besser zu verstehen. Andererseits möchten wir mit Hilfe solcher logarithmischer Strukturen in Beispielen auch arithmetische Eigenschaften von Differentialalgebren untersuchen und neue Erkenntnisse über den Übergang von Differentialalgebren zu strukturierten Ringspektren erzielen. Wir erwarten also, durch einen wechselseitigen Transfer von Konzepten aus Homotopietheorie und algebraischer Geometrie neue Einsichten über die Ringspektren der algebraischen Topologie und die Differentialalgebren der homologischen Algebra zu gewinnen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1786: Homotopietheorie und algebraische Geometrie
• Internationaler Bezug: Norwegen
• Kooperationspartner: Professor Dr. John Rognes
• Ehemaliger Antragsteller: Professor Dr. Steffen Sagave, bis 4/2016