Existence and regularity for parabolic quasi minimizers on metric measure spaces
Final Report Abstract
Das DFG-Projekt hatte zum Ziel, Existenz- und Regularitätsfragen für parabolische (Quasi-)Minimierer auf metrischen Maßräumen zu studieren und Einsichten über die Zusammenhange zwischen der Gültigkeit diverser Regularitätseigenschaften und der Struktur des zu Grunde liegenden metrischen Maßraumes zu gewinnen. Im ersten Teil des Projektes wurden wichtige und grundlegende Existenzsatze für das Cauchy-Dirichlet Problem bewiesen, zunächst für zeitunabhängige Randdaten und schließlich - mit einer vollkommen anderen Beweistechnik - auch für zeitabhängige Daten. Es ist gelungen, sogar den Fall linearen Wachstums zu behandeln, welcher auf Grund der Charakterisierung des „richtigen“ Funktionenraumes im metrischen Setting zunächst große Schwierigkeiten bereitete. Voraussetzungen an den metrischen Maßraum sind dabei lediglich die Verdopplungseigenschaft, sowie die Gültigkeit einer Poincaré-Ungleichung. Die Stabilitätsfrage für globale parabolische Quasi-Minimierer zu gegebenen Anfangs-Randdaten bei Variation des Wachstumsparameters p und der Quasiminimierungs-Konstante Q ≥ 1 konnte auf der Sobolev-Skala für einen großen Bereich relevanter Exponenten p positiv beantwortet werden. Unterhalb des kritischen Exponenten p = 2n/n+2 ist die Stabilitätsfrage mangels höherer Integrierbarkeit noch unbeantwortet. Hier ist zu vermuten, dass zumindest für monoton fallende Folgen von Exponenten pi eine positive Antwort gegeben werden kann. Im Fall Q = 1 wurde - zumindest im euklidischen Setting - auch Stabilität auf jeder Lp-Skala nachgewiesen. Die Verallgemeinerung des Resultats auf das Setting metrischer Maßräume ist dabei noch offen und bedarf weiterer Untersuchungen. Die Frage der Regularität parabolischer Quasiminimierer wurde in mehreren Arbeiten untersucht. Zunächst wurde die lokale Holder-Stetigkeit nachgewiesen, und zwar für eine sehr allgemeine Klasse von Minimierungsfunktionalen mit polynomialem p-Wachstum. Dabei wurde sowohl der degeneriert parabolische Fall p > 2 als auch der singulare Fall p < 2 behandelt. Neben der Verdopplungseigenschaft des Raumes und der Poincaré-Ungleichung wurde dabei als zusätzliche Strukturvoraussetzung die Annular-Decay-Property angenommen. Die verwendete Beweistechnik, welche ganz wesentlich auf dem Prinzip der „Expansion of Positivity“ beruht, benutzt diese Eigenschaft in sehr grundlegender Weise, sodass es zumindest fraglich erscheint, ob ein ähnlicher Beweis auch ohne Annahme dieser zusätzlichen Strukturbedingung geführt werden könnte. Es bleibt vorerst offen, ob diese Bedingung tatsächlich auch notwendig fur den Beweis der Regularität von Lösungen parabolischer Probleme ist. Der Frage nach der Gültigkeit von Harnack-Ungleichungen für parabolische Quasiminimierer wurde nachgegangen. Hier konnte, ebenfalls unter Annahme einer Annular-Decay-Property, eine positive Antwort für den degeneriert parabolischen Fall p > 2 gegeben werden, wobei zu erwähnen ist, dass dieses Problem auch im euklidischen Fall bisher noch offen war. Der singuläre Fall p < 2 wurde bisher noch nicht behandelt und wird sicher in naher Zukunft auch im Fokus weiterer Untersuchungen liegen. Mit den etablierten Techniken scheint dieser Fall zumindest prinzipiell greifbar, jedoch ist zu erwarten, dass auf Grund des grundlegend unterschiedlichen Verhaltens von Lösungen degeneriert-parabolischer und singulär-parabolischer Probleme, erhebliche Unterschiede zum Fall p > 2 auftreten werden.
Publications
- (2020) Harnack inequality for parabolic quasi minimizers on metric spaces. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni) 31 (3) 565–592
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(See online at https://doi.org/10.1002/mana.201700018) - Existence of parabolic minimizers on metric measure spaces, Nonlinear Anal. TMA, 176 (2018), 56–83
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(See online at https://doi.org/10.1016/j.na.2018.06.005) - Stability for parabolic quasi minimizers in metric measure spaces, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 29, 2 (2018), 343–376
Y. Fujishima, J. Habermann
(See online at https://doi.org/10.4171/RLM/810) - Existence of variational solutions to a Cauchy-Dirichlet problem with time-dependent boundary data on metric measure spaces, Collect. Math. (2020)
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(See online at https://doi.org/10.1007/s13348-020-00288-0) - Finite speed propagation for parabolic quasiminimizers, Nonlinear Anal. TMA (2020)
Y. Fujishima, J. Habermann
(See online at https://doi.org/10.1016/j.na.2020.111891)
