Entartungen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und Verwandte Geometrien

• Antragsteller: Professor Dr. Helge Ruddat
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 272561367

• Erstellungsjahr: 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bilden eine bedeutende geometrische Klasse mit weitreichenden Beziehungen und Anwendungen in der mathematischen Physik und vielen Teilgebieten der Mathematik. Viele strukturelle Fragen zu den besonders interessanten dreidimensionalen Vertretern dieser Geometrien sind jedoch ungelöst, z.B. in welchem Umfang Spiegelsymmetrie gilt und aus welchem fundamentalen Grund sie beobachtet werden kann. Im Rahmen des Forschungsprojektes wurde Methodik zum Studium dieser Fragen entwickelt. Der Grundansatz besteht darin durch eine maximale Entartung der Geometrie neue Informationen zu gewinnen. Logarithmische und tropische Geometrie boten eine natürliche Grundlage, welche es ermöglichte die Geometrie von Entartungen zu kontrollieren. In der mathematischen Physik kamen Entartungen bereits im Zusammenhang mit dem um 1990 im Rahmen der Stringtheorie entdeckten Phänomens der Spiegelsymmetrie vor. Diese tiefliegenden Beziehung von komplexer und symplektischer Geometrie von zwei verschiedenen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten wurde im Zuge des Projektes weiter erforscht und neue Erkenntnisse produziert. Es gelang einen allgemeinen Satz zu beweisen, dass maximale Entartungsräume unter milden Voraussetzungen stets glättbar sind. Für spezielle Entartungsfamilien, welche aus Wandstrukturen hervorgehen, wurden fundamentale Strukturaussagen wie die Analytizität und Versalität bewiesen. Ausserdem hat das Projekt eine einfache Formel für Periodenintegrale in Entartungsfamilien und viele neue Resultate über tropische Kurven und deren Korrespondenz mit Lagrangschen Untermannigfaltigkeiten sowie mit algebraischen Kurven und den darauf aufbauenden algebraischen Strukturen hervorgebracht.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Motivic Zeta Functions of the Quartic and its Mirror Dual, Proc. Sympos. Pure Math. 93 String-Math 2014, published 2016, Pages 189–200
  Helge Ruddat, Johannes Nicaise, Peter Overholser
  
• Perverse curves and mirror symmetry. Journal of Algebraic Geometry, 26(1), 17-42.
  Ruddat, Helge
  
• Towards mirror symmetry for varieties of general type. Advances in Mathematics, 308, 208-275.
  Gross, Mark; Katzarkov, Ludmil & Ruddat, Helge
  
• Descendant log Gromov-Witten invariants for toric varieties and tropical curves. Transactions of the American Mathematical Society, 373(2), 1109-1152.
  Mandel, Travis & Ruddat, Helge
  
• Local Gromov-Witten invariants are log invariants. Advances in Mathematics, 350, 860-876.
  van Garrel, Michel; Graber, Tom & Ruddat, Helge
  
• Local uniqueness of approximations and finite determinacy of log morphisms. Preprint, 20 p.
  Helge Ruddat
  
• Logarithmic Enumerative Geometry and Mirror Symmetry. Oberwolfach Reports, 16(2), 1639-1695.
  Abramovich, Dan; van Garrel, Michel & Ruddat, Helge
  
• Period integrals from wall structures via tropical cycles, canonical coordinates in mirror symmetry and analyticity of toric degenerations. Publications mathématiques de l'IHÉS, 132(1), 1-82.
  Ruddat, Helge & Siebert, Bernd
  
• Tropically constructed Lagrangians in mirror quintic threefolds. Forum of Mathematics, Sigma, 8(2020).
  Mak, Cheuk Yu & Ruddat, Helge
  
• A homology theory for tropical cycles on integral affine manifolds and a perfect pairing. Geometry & Topology, 25(6), 3079-3132.
  Ruddat, Helge
  
• Compactifying Torus Fibrations Over Integral Affine Manifolds with Singularities. MATRIX Book Series (2021), 609-622. American Geophysical Union (AGU).
  Ruddat, Helge & Zharkov, Ilia
  
• Smoothing toroidal crossing spaces. Forum of Mathematics, Pi, 9(2021).
  Felten, Simon; Filip, Matej & Ruddat, Helge
  
• Tailoring a pair of pants. Advances in Mathematics, 381, 107622.
  Ruddat, Helge & Zharkov, Ilia
  
• The degeneration formula for stable log maps. manuscripta mathematica, 170(1-2), 63-107.
  Kim, Bumsig; Lho, Hyenho & Ruddat, Helge
  
• Tropical Quantum Field Theory, Mirror Polyvector Fields, and Multiplicities of Tropical Curves. International Mathematics Research Notices, 2023(4), 3249-3304.
  Mandel, Travis & Ruddat, Helge
  
• The proper Landau-Ginzburg potential is the open mirror map. Advances in Mathematics, 447, 109639.
  Gräfnitz, Tim; Ruddat, Helge & Zaslow, Eric