Tukey-Relationen zwischen dem Null-Ideal und klassischen Baum-Forcing-Idealen

• Antragsteller: Professor Dr. Otmar Spinas
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 276055566

Eine Abbildung von einem Ideal I in ein zweites J heißt Tukey-Reduktion, bzw. I Tukey-reduzibel auf J, falls jede Familie in I, deren Vereinigung nicht in I liegt, durch die Abbildung auf eine Familie in J mit derselben Eigenschaft abgebildet wird. Aus der Existenz einer solchen Tukey-Reduktion folgt, dass add(J), die Additivität von J, höchstens gleich add(I) ist. Motivation für ein Hauptproblem dieses Antrags ist mein jüngstes Resultat, dass das magere Ideal Tukey-reduzibel auf das Mycielski-Ideal. Dieses ist das zu Silver Forcing assoziierte Baum-Ideal. Nach einem klassischen Resultat von Pawlikowski ist das magere Ideal auch Tukey-reduzibel auf das Lebesgue-Null-Ideal. Die Frage drängt sich auf, ob mein Resultat dahingehend verschärft werden kann, dass sogar das Null-Ideal Tukey-reduzibel auf das Mycielski-Ideal ist. Das Mycielski-Ideal ist eines der klassischen Baum-Forcing-Ideale. Für die meisten anderen solchen wie das Laver-, Miller- und Sacks-Ideal war bekannt, dass das magere Ideal nicht darauf Tukey-reduzierbar ist. Kernelement des Beweises war stets das Auffinden eines entsprechenden Amoeba-Forcings, das keine Cohen-Reals adjungiert. Dies ermöglicht die Konstruktion eines Modells, in dem die Additivität des mageren Ideals kleiner ist als jene des entspr. Baum-Ideals. Falls die genannte Kernfrage nicht positiv gelöst werden kann, müsste versucht werden, ein Silver-Amoeba-Forcing zu konstruieren, das keine Random-Reals adjungiert. Analog könnte damit ein Modell konstruiert werden, in dem die Additivität des Null-Ideals kleiner ist als jene des Mycielski-Ideals. Dies würde eine negative Antwort auf besagtes Problem implizieren.Ziel dieses Vorhabens ist es auch, die Unabhängigkeit der Additivitäten verschiedener solcher Baum-Forcing-Ideale untereinander nachzuweisen. Ein bescheideneres Ziel wäre der Nachweis, dass (zumindest konsistenterweise) zwischen diesen Baum-Idealen keine Tukey-Reduktionen existieren.Die konkrete Definition solcher Baum-Ideale legt nahe, dass für deren Verständnis unabdingbar die Erforschung der Struktur maximaler Antiketten der entspr. Baum-Forcings ist. So besteht das chronologisch primäre Ziel unseres Vorhabens darin, die sogenannten Antikettenzahlen von Sacks-, Miller- und Laver-Forcing zu untersuchen.Dieses Projekt soll in Kooperation mit Prof. Saharon Shelah, einem der bedeutendsten Logiker unserer Zeit, ausgeführt werden. Er hat sich in der Vergangenheit intensiv mit den genannten Problemfeldern wie Null-Ideal, Baum-Forcings und Antikettenstrukturen befasst. Seit Jahrzehnten unterhalte ich mit ihm eine äußerst fruchtbare und erfolgreiche Zusammenarbeit.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• Kooperationspartner: Professor Dr. Saharon Shelah