Finite energy foliations, Floer and contact homology in low dimensions, Hamiltonian dynamics, braids

• Antragsteller: Professor Dr. Barney Bramham
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 279842737

Floer-Komplexe und ihre Verbindungen zu Blätterungen endlicher Energie. Für das Verständnis dynamischer Systeme, wie sie Poincaré im Rahmen seiner Untersuchung des Dreikörperproblems eingeführt hat, haben sich ¿Poincaré-Schnitte" als äußerst hilfreich erwiesen. Leider sind Poincaré-Schnitte schwer zu finden. In den späten neunziger Jahren ist es Hofer-Wysocki-Zehnder gelungen, eine Beziehung herzustellen zwischen Poincaré-Schnitte in Hamiltonschen Systemen und Objekten aus dem angrenzenden Gebiet der symplektischen Geometrie, den sog. pseudo-holomorphen Kurven. Es handelt sich dabei um Lösungen zu einer 1 bestimmen partiellen Differentialgleichung und Spezialfälle von Minimalflächen. Diese Beziehung eröffnete zum ersten Mal die Möglichkeit Poincaré-Schnitte mit einem konkreten Hilfsmittel zu konstruieren: einer Blätterung endlicher Energie. Der Antragsteller hat solche Verbindungen in der Vergangenheit erfolgreich eingesetzt, um Antworten auf zwei Fragestellungen aus dem Gebiet der Ergodentheorie zu finden, die lange ungeklärt waren. Allerdings weisen die aktuell zur Verfügung stehenden Methoden zur Konstruktion von Blätterungen endlicher Energie ein Defizit auf, das ihre Anwendung auf dynamische Systeme erheblich einschränkt: Sie sind auf Grund ihres asymptotischen Verhaltens in gewisser Hinsicht schwer zu beherrschen. Ziel dieses Forschungsvorhabens ist es, einen neuen Rahmen zu untersuchen, in dem die Konstruktion von Blätterungen endlicher Energie mit der gewünschten Eigenschaft der asymptotischen Kontrolle möglich ist. Im ersten Schritt soll dies für zweidimensionale Hamiltonsche Systeme erfolgen. Hierfür wird ein nicht-symplektisches Konzept von LeCalvez mit einem etablierten Werkzeug der symplektischen Geometrie verbunden, der sog. Floer-Homologie. Das Ergebnis dieser Verbindung wird eine neue hybride Version des letztgenannten Werkzeugs sein. Wir beziehen uns dabei auf Arbeiten von LeCalvez, der etwa im Jahr 2000 ein Objekt in der Dynamik von Flächen entdeckte, welches zwar viele Eigenschaften mit einer Blätterung endlicher Energie teilt, bemerkenswerterweise aber keine direkte Beziehung zu pseudo-holomorphen Kurven oder Differentialgleichungen hat. Dieser Ansatz kann nicht nur das hier dargestellte Problem lösen, er dürfte auch unabhängig davon zu interessanten Ergebnissen führen. Im zweiten Schritt wird die Untersuchung des neuen Rahmens für eine gewisse Klasse dreidimensionaler Systeme, den Reeb-Flüssen, erfolgen. Eine direkte Analogie zu den Arbeiten von LeCalvez ist hierbei nicht gegeben. Wir werden auf der symplektischen Seite Floer-Homologie durch Kontakthomologie ersetzen. Als dritten Schritt dieses Forschungsvorhabens werden wir eine neue Variante von Floer- und Kontakthomologie einführen, welche in mancher Hinsicht ¿transversal" zu den oben gefundenen Ergebnissen ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen