Multiskalen-Version des Logvinenko-Sereda Theorems

• Antragsteller: Professor Dr. Ivan Veselic
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 280969390

Das Ziel des Projektes ist es, eine Multiskalen-Version des Satzes von Logvinenko und Sereda zu beweisen.Der klassische Satz von Logvinenko und Sereda ist der Harmonischen und Fourieranalysis zuzuordnen undbesagt, dass die Einschränkung einer $L^p$ Funktion auf der reellen Achseauf eine dicke Menge eine vergleichbare $L^p$ -Norm hat zu der Funktion auf der gesamten Achse, vorausgesetzt, die Fouriertransformierte ist auf einem kompaktem Intervall getragen.Nur die Länge des Intervalls geht in die Abschätzung ein, nicht die Lage.Die Dicke der Einschränkungsmenge beeinflusst die Konstante ebenfalls.Kovrijkine verallgemeinerte das Resultat auf den Fall, dass der Träger der Fouriertransformiertenin der Vereinigung mehrerer Intervalle derselben Länge enthalten ist.Wieder hängt die Schranke nur von der Anzahl und Länge der Intervalle ab, jedoch nicht von deren Position.Neue skalen-freie Eindeutige-Fortsetzungsabschätzungen bzw.~Unschärferelationen fürEigenfunktionen und Spektralprojektoren von Schrödingeroperatorenlegen eineMultiskalen-Version des Satzes von Logvinenko und Sereda nahe.Dabei werden Funktionen auf Intervallen der Längen $L$ betrachtet, wobei $L$über die positiven Zahlen variiert.Zunächst mögen die angestrebten Abschätzungen einfacher erscheinen als im klassischen Fallauf der gesamten reellen Achse, jedoch muss hier zusätzlich die Abhängigkeit der Schranken von demneuen Längenparamter $L$ kontrolliert werden.Im Idealfall sollte man zeigen können, dass die Abschätzugen uniform in $L$ gelten.Während die vermutete Ungleichung der Harmonischen Analysis zuzuordnen wäre,hat sie direkte Konsequenzen in der Theorie der Inversen Probleme, insbesondere unter geeignetenAnnahmen zur dünnen Besetztheit.Also kann es als ein Version von compressed sensing und sparse recoveryim Kontinuum angesehen werden.Darüberhinaus haben die vermuteten Schranken Anwendungen in der Spektraltheorie von Schrödingeroperatorenund der Kontrolltheorie der Wärmeleitungsgleichung. Eine multidimensionale Verallgemeinerungder Abschätzung hätte noch weitreichendere Relevanz.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Kroatien
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Ivica Nakic; Professorin Dr. Angkana Rüland