Diffusion auf irregulären Mengen

• Antragsteller: Professor Dr. Marc Keßeböhmer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 281034495

Das maßgebliche Ziel dieses Projektes ist es, Diffusionsprozesse auf nicht glatten Mengen zu verstehen; mathematisch können solche Mengen mittels fraktaler Geometrie beschrieben und analysiert werden. Diffusionsprozesse modellieren die stetige Bewegung von Teilchen in einem gegebenen Medium. Die Theorie solcher Prozesse und harmonischer Strukturen speziell auf homogenen selbstähnlichen Fraktalen wurde bereits eingehend u.a. von Barlow, Denker, Hambly, Hattori, Kigami, Lapidus, Lau, Lindstrom und Metz untersucht. Dieses Projekt soll zu einem tieferen Verständnis des Verhaltens von Diffusionsprozessen in der Natur beitragen. Mögliche Anwendungen - wie z.B. der Sauerstofftransport in der menschlichen Lunge oder Gasausbreitung in Gesteinsschichten - sind Gegenstand aktueller naturwissenschaftlicher Untersuchungen.Im ersten Teil dieses Projektes wird die Konstruktion von Diffusionsprozessen auf inhomogenen selbstähnlichen, selbstaffinen und selbstkonformen Fraktalen mittels Irrfahrten ausgeführt. Die Ausweitung der bekannten Ergebnisse auf diese allgemeineren Fraktale wird eine Kombination wohletablierter Theorien und innovativer Methoden, wie etwa Erneuerungstheorie, mehrdimensionale Verzweigungsprozesse und thermodynamischen Formalismus erforderlich machen. Dieser Zugang mit Hilfe von Irrfahrten ermöglicht eine intuitive und geometrisch motivierte Konstruktion, die Wege zu neuen Erkenntnissen eröffnet. Zudem ist dieser Zugang vergleichbar mit einer Konstruktion von Brownscher Bewegung im n-dimensionalen euklidischen Raum. Dadurch, dass allgemeinere Fraktale bestimmte Regularitätsbedingungen wie etwa Symmetrie verletzen, treten mehrere Schwierigkeiten auf. Einige solcher Hindernisse wurden mit Hilfe eines analytischen Ansatzes überwunden, der auf Kigami zurückgeht und bspw. von Freiberg, Hambly, Strichartz und Teplyaev weiterentwickelt wurde. Wir sind überzeugt, dass der Konstruktionsansatz mittels Irrfahrten offenen Problemen vielversprechend entgegentritt und weitreichende Verallgemeinerungen zulässt.Der sich durch die Diffusion ergebende Laplace-Operator soll im zweiten Teil dieses Projektes untersucht werden, wobei insbesondere mit Hilfe von Abschätzungen der Übergangsdichte die Walk- und Spektral-Dimension bestimmt werden sollen. Diese verschiedenen Dimensionsbegriffe werden anschließend mit der relevanten fraktalen Dimension der Menge in Zusammenhang gebracht. Wir beabsichtigen damit eine (modifizierte) Einsteinrelation für eine umfangreiche Klasse von Fraktalen herzustellen. Abschließend wollen wir Zusammenhänge zwischen Diffusionsprozessen und nichtkommutativer Geometrie untersuchen. In einem ersten Schritt werden wir den sich ergebenden Laplace-Operator mit dem Quadrat eines Dirac-Operators vergleichen, der vom PI, Falconer, Hinz, Kelleher und Samuel vorgeschlagen wurde. Des Weiteren werden wir eine Klasse von KMS-Zuständen untersuchen, welche motiviert sind durch Begriffe aus der quanten-statistischen Mechanik.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen