Diffusion on irregular sets
Final Report Abstract
Das maßgebliche Ziel dieses Projektes war es, Diffusionsprozesse und Laplace-Operatoren auf nichtglatten, fraktalen Mengen zu verstehen. Diffusionsprozesse modellieren die stetige Bewegung von Teilchen in einem gegebenen Medium. Die Theorie solcher Prozesse und harmonischer Strukturen speziell auf homogenen selbstähnlichen Fraktalen wurde in der Literatur bereits eingehend u.a. von Barlow, Denker, Hambly, Hattori, Kigami, Lapidus, Lau, Lindström und Metz untersucht. Im ersten Teil dieses Projektes wird die Konstruktion von Diffusionsprozessen auf inhomogenen selbstähnlichen Fraktalen mittels Irrfahrten ausgeführt. Dieser Zugang mit Hilfe von Irrfahrten auf augmentierten Bäumen ermöglicht eine intuitive und geometrisch motivierte Konstruktion, die Wege zu neuen Erkenntnissen eröffnet. Das erste Hauptergebnis in dieser Richtung ist, dass die konkreten Übergangswahrscheinlichkeiten zwar ein große Rolle bei der Berechnung der harmonischen Strukturen spielen ((minimaler)Martin-Rand, Green-Funktionen, harmonische Funktionen etc.), aber, wie es sich zeigte, das Ergebnis nicht beeinflussen. So war es für gewisse Beweisschritte wichtig, dass Übergangswahrscheinlichkeiten im rationalen Verhältnis stehen. Um dann auf den allgemeinen Fall schließen zu können, wurde es notwendig, Stetigkeitsbetrachtungen bezüglich der Abhängigkeit der harmonischen Strukturen von den Übergangswahrscheinlichkeiten anzustellen. Hierfür den richtigen Rahmen gefunden zu haben (u.a. Martin-Ränder in einen kompakten Produktraum mit Hausdorff-Metrik einzubetten) und die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Stetigkeit zu finden, ist das zweite Hauptergebnis dieses Teils. Im zweiten Teil des Projektes betrachten wir verallgemeinerte Kre˘ın-Feller-Operatoren , in Bezug auf Borel-Wahrscheinlichkeitsmaße und mit kompakten Träger, supp() supp() und frei vonAtomen. Wenn gleich dem auf [0, 1] eingeschränkten Lebesgue-Maß ist, dann nennen wir ,den klassischen Kre˘ın-Feller-Operator. Unser erstes Ergebnis liefert, dass durch eine Transformation von Maßräumen das Spektralverhalten des verallgemeinerten Kre˘ın-Feller-Operators auf den klassischen Fall zurückgeführt werden kann, so dass wir uns anschließend auf diesen Fall konzentrieren können. Wir stellen erstmalig die überraschende Verbindung her zwischen dem multifraktalen Eigenschaften des Maßes und den Spektraleigenschaften des zu assoziierten klassischen Kre˘ın-Feller-Operators: Es uns gelungen, die obere Spektraldimension für den klassischen Kre˘ın-Feller-Operator vollständig durch dasLq-Spektrum des Maßes zu charakterisieren und geben mit Hilfe des Lq-Spektrums hinreichende und notwendige Bedingungen für die Existenz der Spektraldimension an. Diese Beobachtung erlaubt uns, Spektraldimension, Minkowskidimension des Trägers von und die Hausdorff-Dimension von in Beziehung zusetzten. Insbesondere können wir die Einsteinrelation, die die fraktale Dimension, Spektraldimension und Walk-Dimension (des assoziierten Diffussionsprozess) in Beziehung setzen soll, neu bewerten und den eingeschränkten Gültigkeitsbereich angeben. Besonderes Augenmerk erhalten Maße , die rein atomar sind und solche die als schwache Gibbs-Maße für selbst-konformen Systemen mit Überlapp dargestellt werden können. Für Gibbsmaße unter C1+"-selbst-konformen Systemen und offenere Mengenbedingung erhalten wir obere und untere Abschätzungen der Weyl-Asymptotik. Der dritte Teil des Projektes ist Verbindungen zu Konzepten der nichtkommutativen Geometrie gewidmet. Als ergiebigen Zugang nutzen wir den Zusammenhang zwischen nicht-kommutative Spektralmetriken von augmentierten Bäumen und der aperiodischen Ordnungen von gewissen Teilshifts – wie Sturmschen undGrigorschuk-Teilshifts. Für ein > 1 und einem irrationalen mit unbeschränkten Kettenbrucheingängen charakterisieren wir die Zusammenhänge zwischen der -Hölder-Regularität der nicht-kommutative Spektralmetriken bezügliche des Sturmschen Teilshifts mit Steigung , den Diophantischen Eigenschaften von sowie gewissen Komplexitätsgrößen, die wir in Anlehnung an bekannte Konzepte -Repetivität, -Repulsivität und -Endlichkeit genannt haben. Die Betrachtung von Grigorschuk-Teilshifts erlaubt es uns,die Äquivalenz und Nichtäquivalenz dieser Komplexitätsgrößen zu zeigen. In diesen letzten Bereich zur aperiodischen Ordnung gehören auch unsere Ergebnisse zu mathematischen Quasikristallen. Wir habenumfangreiche Untersuchungen zu Stetigkeit und Unstetigkeit der Diffraktionsmaße in Abhängigkeit von dynamisch definierten Maßen – den f -gewichteten Wiederkehrmaßen – angestellt. Besonders hervorzuheben sind die Ergebnisse im Zusammenhang mit verallgemeinerten -Transformationen: Wir entwickeln die Theorie zu f -gewichteten Wiederkehrmaßen weiter und konzentrieren uns auf die Diffraktionsspektren für den Rand des Parameterraums bezüglich der verallgemeinerten -Transformationen. Insbesondere bestimmen wir für bestimmte Folgen von Parametern, die sich der Grenze bei = 1 nähern (diese entsprechen den starren Rotationen), die schwachen Grenzwerte der zugehörigen Folgen von Diffraktionsmaßen. Überraschender Weise erhalten wir – je nachdem, wie wir uns der Grenze nähern – nicht nur die Diffraktionsmaße der starren Rotation, sondern auch verallgemeinerte Thue-Morse-Maße, die sich als Riesz-Produkte darstellen lassen, und Diffraktionsmaße, die von Toeplitz-ähnlichen Sequenzen abgeleitet werden. Schließlich wurde das multifraktale Spektrum des Thue-Morse-Maßes bestimmt.
Publications
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