TRR 191:  Symplektische Strukturen in Geometrie, Algebra und Dynamik

• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Informatik, System- und Elektrotechnik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Webseite: Zur Homepage
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 281071066

Das Studium symplektischer Strukturen und die Anwendungen symplektischer Techniken (sowie ihrer kontaktgeometrischen Entsprechungen) haben von Anfang an von einer starken äußeren Motivation profitiert. Symplektische Begrifflichkeiten wurden entwickelt, um Probleme in anderen Gebieten zu lösen, die einem traditionellen Zugang widerstanden haben, oder um konzeptionell einfachere Beweise für bekannte Resultate zu finden. Herausragende Beispiele sind Eigenschaft P für Knoten, der Satz von Cerf über Diffeomorphismen der 3-Sphäre, und der Satz von Lyusternik-Fet über periodische Geodätische. Der SFB/TRR 191 fördert die Kooperation von Mathematikerinnen und Mathematikern, die in der Symplektischen Geometrie aufgewachsen sind, mit Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern, die in Gebieten arbeiten, die sich als wichtig erwiesen haben für die wechselseitige Befruchtung mit der symplektischen Geometrie, insbesondere Dynamik und Algebra. Darüber hinaus erforscht der SFB Beziehungen mit anderen Gebieten, wo das Potential des symplektischen Gesichtspunktes bis jetzt nicht voll realisiert ist, oder die, umgekehrt, neue Methodologien zum Studium symplektischer Fragen beitragen können (z.B. Optimierung, Stochastik, Visualisierung). Der SFB bündelt hinreichend viel symplektisches Fachwissen, um Fortschritt bei einigen der treibenden Vermutungen in diesem Gebiet zu erwarten, wie der Weinstein-Vermutung über geschlossene Reeb-Bahnen und der Viterbo-Vermutung über eine Volumenschranke für symplektische Kapazitäten kompakter, konvexer Gebiete im R2n. Letztere kann als Problem in der systolischen Geometrie formuliert werden und ist verwandt mit der Mahler-Vermutung in der konvexen Geometrie.Die Fokussierung auf symplektische Strukturen und Techniken dient bei diesem SFB der Gewährleistung einer inhaltlichen Kohärenz in einer Gruppe von Mathematikern und Mathematikerinnen mit einem breiten Interessensspektrum.

• DFG-Verfahren: Transregios
• Internationaler Bezug: Niederlande

Laufende Projekte

• A01 - Topologische Aspekte symplektischer Mannigfaltigkeiten mit Symmetrien (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Heinzner, Peter ;  Reineke, Markus ;  Sabatini, Silvia )
• A02 - Geometrie singulärer Räume (Teilprojektleiter Geiges, Hansjörg ;  Lytchak, Alexander ;  Marinescu, George Teodor ;  Zehmisch, Kai )
• A03 - Geometrische Quantisierung (Teilprojektleiter Alldridge, Alexander ;  Heinzner, Peter ;  Marinescu, George Teodor )
• A05 - Reeb-Dynamik und Topologie (Teilprojektleiter Albers, Peter ;  Geiges, Hansjörg ;  Zehmisch, Kai )
• A08 - Symplektische Geometrie von Darstellungs- und Köcher-Varietäten (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Albers, Peter ;  Pozzetti, Maria Beatrice ;  Reineke, Markus ;  Wienhard, Anna )
• A09 - Symplektische Dynamik - Himmelsmechanik & Billards (Teilprojektleiter Albers, Peter ;  Hryniewicz, Umberto ;  Moreno, Agustin )
• B01 - Topologische Entropie und geodätische Flüsse auf Flächen (Teilprojektleiter Bramham, Barney ;  Hryniewicz, Umberto ;  Knieper, Gerhard )
• B02 - Twist-Abbildungen und minimale Geodätische (Teilprojektleiter Knieper, Gerhard ;  Kunze, Markus )
• B03 - Systolische Ungleichungen in der Reeb-Dynamik (Teilprojektleiter Abbondandolo, Alberto ;  Benedetti, Gabriele ;  Bramham, Barney ;  Hryniewicz, Umberto )
• B05 - Hyperbolizität in Dynamik und Geometrie (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Knieper, Gerhard ;  Kunze, Markus ;  Pozzetti, Maria Beatrice ;  Wienhard, Anna )
• B06 - Symplektische Methoden in unendlich-dimensionalen Systemen (Teilprojektleiter Burban, Igor ;  Kunze, Markus ;  Suhr, Stefan )
• B07 - Lorentz- und Kontaktgeometrie (Teilprojektleiter Nemirovski, Stefan ;  Suhr, Stefan )
• B08 - Symplektische Methoden für verallgemeinerte Billards (Teilprojektleiter Albers, Peter ;  Bramham, Barney ;  Hryniewicz, Umberto )
• B09 - Hamiltonsche Dynamik von Flächendeformationen (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Farre, James ;  Knieper, Gerhard ;  Wienhard, Anna )
• C01 - Symplektische Kapazitäten von Polytopen (Teilprojektleiter Abbondandolo, Alberto ;  Albers, Peter ;  Thäle, Christoph ;  Vallentin, Frank )
• C03 - Impulspolytope, Stringpolytope und Verallgemeinerungen (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Cupit-Foutou, Stéphanie ;  Heinzner, Peter ;  Littelmann, Peter ;  Reineke, Markus )
• C04 - Kombinatorik von Mannigfaltigkeiten mit Symmetrien und Modularitätseigenschaften (Teilprojektleiterinnen Bringmann, Kathrin ;  Sabatini, Silvia )
• C05 - Modulformen und Gromov-Witten-Theorie (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Bringmann, Kathrin ;  Suhr, Stefan ;  Zehmisch, Kai )
• C06 - Visualisierung in Billards und Kontaktgeometrie (Teilprojektleiter Albers, Peter ;  Geiges, Hansjörg ;  Sadlo, Filip )
• C07 - Assoziative Algebren aus der Symplektischen Geometrie (Teilprojektleiterinnen / Teilprojektleiter Littelmann, Peter ;  Reineke, Markus ;  Schroll, Sibylle )
• Z - Verwaltungsprojekt (Teilprojektleiter Geiges, Hansjörg ;  Zehmisch, Kai )

Abgeschlossene Projekte

• A06 - Rabinowitz Floer homology (Teilprojektleiter Abbondandolo, Alberto ;  Albers, Peter )
• A07 - Abgeleitete Kategorien singulärer Kurven (Teilprojektleiter Burban, Igor ;  Marinescu, George Teodor )
• B04 - Schleifengruppen und das Wegemodell (Teilprojektleiter Littelmann, Peter ;  Lytchak, Alexander )
• C02 - Algorithmisches symplektisches Packen (Teilprojektleiter Geiges, Hansjörg ;  Jünger, Michael ;  Vallentin, Frank )

• Antragstellende Institution: Universität zu Köln
• Mitantragstellende Institution: Ruhr-Universität Bochum; Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
• Beteiligte Hochschule: Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen
• Sprecher: Professor Dr. Hansjörg Geiges, bis 7/2021; Professor Dr. Kai Zehmisch, seit 7/2021