Schnelle Zeitbereichsmethoden zur Analyse von Komponenten der Photonik
Elektronische Halbleiter, Bauelemente und Schaltungen, Integrierte Systeme, Sensorik, Theoretische Elektrotechnik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Numerisch explizite Algorithmen zur Beschreibung der elektromagnetischen Wellenausbreitung im Zeitbereich haben den Vorteil, dass sie auf Matrix-Vektor-Operationen aufbauen und sich deshalb zum Beispiel über die Nutzung von Graphikprozessoren parallelisieren lassen. Diese Algorithmen sind aber dadurch beschränkt, dass die Zeitschrittweite von der Feinheit der räumlichen Diskretisierung und damit von Eigenwerten der entstehenden Systemmatrix abhängt. Je feiner die räumliche Diskretisierung zu wählen ist, umso kleiner ist die Zeitschrittweite anzusetzen. Damit geht eine deutliche Verringerung der Recheneffizienz einher. Im Vorhaben wurden Methoden untersucht, mit denen die Zeitschrittweite und die Rechengenauigkeit im Vergleich zu konventionellen Finite-Differenzen-Verfahren deutlich erhöht werden können. Die Approximation des Propagators basierend auf der Entwicklung nach Faber-Polynomen ist für die Analyse der elektromagnetischen Wellenausbreitung im Zeitbereich innerhalb von Komponenten der THz-Technik und Photonik mit linearen und nichtlinearen Medien validiert worden. Dabei kann das Materialverhalten von verlustbehafteten oder verstärkenden Medien über Ratengleichungen in die Analyse einbezogen werden. Auch können „Perfectly Matched Layer“ mit absorbierender Wirkung zur Modellierung von Randbedingungen einbezogen werden. Der Propagator wird sowohl für den Fall der Betrachtung der Maxwell-Gleichungen und der Wellengleichung auch unter Annahme eines Einhüllendenansatzes entwickelt. Dabei erfolgt die Entwicklung unter der Maßgabe des komplexen Eigenwertspektrums der Systemmatrix. Das Eigenwertspektrums wird durch die Ränder eines Ellipsengebietes begrenzt. Die Untersuchungen zeigen, dass der Einsatz zur Lösung der Maxwell-Gleichungen zu beliebig hohen Zeitschrittweiten und einer sehr hohen Genauigkeit führt. Werden die entwickelten Verfahren mit dem herkömmlichen Finite-Differenzen-Verfahren nach Yee verglichen, dann wird bei vergleichbarer Rechengenauigkeit die Rechenzeit deutlich verringert. Die Anwendung des Einhüllendenansatzes führt zu einer vergleichsweise präziseren Einbindung der für die Anregung von elektromagnetischen Wellen notwendigen Quellen. Damit kann wegen der Einhüllenden eine präzisere Erfassung der Quellen erfolgen. Insbesondere bei der Betrachtung der Wellenausbreitung basierend auf der Lösung der Wellengleichung werden die Vorteile des Einhüllendenansatzes deutlich. Die Näherung des Propagators erfolgt zuerst mit Hilfe von Padé-Approximationen, so dass anschließend die Entwicklung des Propagators nach Faber-Polynomen vorgenommen wird. Anhand der Ergebnisse lässt sich zeigen, dass dieser Ansatz gegenüber konventionellen Finite-Differenzen-Verfahren grundsätzlich zeiteffizienter umgesetzt werden kann. Eine Grenzbedingung lässt sich formulieren, mit der erkennbar ist, ab welcher räumlichen Diskretisierung die entwickelten Verfahren gegenüber herkömmlichen Verfahren effizienter sind. Mit steigender Ordnung der Padé-Approximation lässt sich eine weitere Verringerung der räumlichen Diskretisierung bei gleichzeitiger Effizienzsteigerung erwarten. Untersucht wurden ferner Ansätze, mit dem die Eigenschaften des linearen als auch nichtlinearen Operators über eine gemeinsame Systemmatrix erfasst werden. Dieser Ansatz ist für die Zukunft von Interesse, da mit ihm die Rechenzeiteffizienz gesteigert werden kann, in dem die getrennte Behandlung beider Operatoren entfällt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Concept of a Complex Envelope Faber Polynomial Approach for the Solution of Maxwell’s Equations. 2018 IEEE MTT-S International Conference on Numerical Electromagnetic and Multiphysics Modeling and Optimization (NEMO), 1-3. IEEE.
Kleene, Hendrik & Schulz, Dirk
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On the Evaluation of Sources in Highly Accurate Time Domain Simulations on the Basis of Faber Polynomials. 2018 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS-Toyama), 352-356. IEEE.
Kleene, H. & Schulz, D.
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Time Domain Solution of Maxwell’s Equations Using Faber Polynomials. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 66(11), 6202-6208.
Kleene, Hendrik & Schulz, Dirk
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Unitary Polynomial Propagator Solving Maxwell’s Equations Allowing Arbitrarily Large Time Steps. IEEE Photonics Technology Letters, 30(2), 193-196.
Kleene, Hendrik & Schulz, Dirk
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Assessment of a Time Domain Beam Propagation Algorithm Based on Faber Polynomial Expansions. 2019 IEEE MTT-S International Conference on Numerical Electromagnetic and Multiphysics Modeling and Optimization (NEMO), 1-3. IEEE.
Kleene, Hendrik & Schulz, Dirk
