Numerische A-posteriori Regularität für Lösungen eines Oberflächenwachstumsmodells

• Antragsteller: Professor Dr. Dirk Blömker, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 282524798

Das Projekt untersucht die praktische Implementierbarkeit der a-posteriori Regularität, die von Chernyshenko, Constantin, Robinson und Titi für die dreidimensionale Navier-Stokes Gleichung eingeführt wurde. Hierbei werden in analytische a-priori Abschätzungen numerische Daten oder Approximationen eingebaut, um für gegebene Anfangswerte rigorose Schranken zu beweisen. Diese schließen aus, dass eine eindeutige lokale Lösung in endlicher Zeit divergiert, und zeigen damit, dass diese bereits global existiert. Damit ist das Problem der globalen Existenz und Eindeutigkeit glatter Lösungen zumindest für eine kleine Umgebung um den gegebenen Anfangswert gelöst. Die Berechnung der numerischen Approximation muss hierbei nicht rigoros sein, sondern nur die Auswertung der analytisch hergeleiteten Schranken.Statt dem Fernziel der dreidimensionalen Navier-Stokes Gleichung sollen die Methoden zunächst für eine numerisch und analytisch deutlich leichter zu behandelnde Oberflächenwachstumsgleichung verbessert und optimiert werden, wobei am Anfang die eindimensionale Gleichung im Fokus steht, die bereits ähnliche Probleme wie 3D-Navier Stokes hat. In die analytische Abschätzung sollen auch numerische Daten für das Spektrum der Linearisierung eingebaut werden, um insbesondere auch einen möglichen linear instabilen Term in den Griff zu bekommen. Hierzu sollen Methoden zur rigorosen numerischen Berechnung von maximalen Eigenwerten angewendet werden.Mittelfristig soll auch die zweidimensionale Oberflächenwachstumsgleichung getestet werden, für welche die globale Existenztheorie noch nicht vollständig verstanden ist. Auch soll das Verfahren an anderen Gleichungen, bei denen die Frage zur Existenz und Eindeutigkeit globaler Lösungen bereits geklärt ist, getestet werden, um die Qualität der Methode zu prüfen.Interessant sind in diesem Zusammenhang auch Gleichungen mit ähnlicher Struktur, wie zum Beispiel die Kuramoto-Sivashinsky Gleichung, bei der in Dimension zwei die globale Existenz der Lösungen, zumindest für Quadrate, völlig offen ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen