Topologische Kombinatorik und Amenabilität

• Antragsteller: Professor Dr. Friedrich Martin Schneider
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 283169120

Amenabilität zählt zu den wichigsten Konzepten der modernen Mathematik und verbindet auf spannende Weise Gruppentheorie, Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Topologische Dynamik, Ergodentheorie und Kombinatorik. Aktuelle Entwicklungen auf dem Gebiet der Ramsey-Theorie haben die Notwendigkeit eines besseren Verständnisses für Amenabilität im Falle nicht-lokalkompakter topologischer Gruppen aufgezeigt. Ziel des beantragten Projektes ist die Untersuchung von Amenabilität für topologische Gruppen und dynamische Systeme anhand asymptotischer kombinatorischer Eigenschaften der unterliegenden uniformen Räume bezüglich der jeweiligen Gruppenwirkungen. Mit anderen Worten: Ich will topologische Gruppen und dynamische Systeme studieren, indem ich diese durch endliche kombinatorische Objekte, wie beispielsweise bipartite Graphen oder simpliziale Komplexe, approximiere. Dieser Ansatz soll genutzt werden, um allgemeine topologische Versionen klassischer Sätze über lokalkompakte Gruppen von Følner, Tarski, Cohen und Grigorchuk zu beweisen. Davon erhoffe ich mir sowohl neue Einblicke in die erwähnten klassischen Resultate (beispielsweise durch alternative Beweismethoden) als auch Anwendungen auf jenen Gebieten, in denen Lokalkompaktheit eine seltene Eigenschaft ist (wie in der Operatortheorie oder der unendlichen Kombinatorik). Ein weiteres Ziel ist die Verallgemeinerung des Ornstein-Weiss-Theorems für beliebige amenable topologische Gruppen. Dies soll als Grundlage dienen, um dynamische Invarianten (wie zum Beispiel topologische Entropie) für stetige Wirkungen amenabler topologischer Gruppen definieren zu können, und würde daher wiederum einen ersten Schritt hin zu einer allgemeinen Ergodentheorie für amenable topologische Gruppen bedeuten. Da die Fachrichtung Mathematik der Universität Auckland herausragende Expertise auf den Gebieten der allgemeinen Topologie, Funktionalanalysis, Gruppentheorie und Kombinatorik vereint, würde der angestrebte Forschungsaufenthalt in Auckland das vorliegende Projekt entscheidend voranbringen und die Grundlage für aussichtsreiche Langzeit-Kooperationen zu kombinatorischen Methoden in der topologischen Gruppentheorie schaffen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Neuseeland
• Gastgeber: Professor Warren Moors, Ph.D.