Boundary regularity of biharmonic maps between Riemannian manifolds
Final Report Abstract
Durch die im Rahmen des Projektes erzielten Ergebnisse wurde die Regularitätstheorie am Rand für extrinsisch biharmonische Abbildungen : M → N weiterentwickelt. Hierbei bezeichnet M eine berandete Riemann’sche Mannigfaltigkeit mit superkritischer Dimension m ≥ 5 und N ⊂ RL eine allgemeine kompakte Untermannigfaltigkeit. Der Schlüssel zu den Regularitäts-Ergebnissen war die Herleitung einer Monotonieformel am Rand. In Kombination mit anderen Ergebnissen aus der Literatur folgt hiermit zum einen die partielle Regularität von variationell biharmonischen Abbildungen bis zum Rand im Sinne von Hm−4 (sing u∩∂M) = 0. Zum anderen folgt im Fall von minimierenden biharmonischen Abbildungen sogar die volle Regularität in einer Umgebung des Randes. Dasselbe Resultat wurde sogar für den allgemeineren Fall von variationell biharmonischen Abbildungen bewiesen, falls die Zielmannigfaltigkeit N keine nichtkonstanten biharmonischen 4-Sphären und keine nichtkonstanten biharmonischen 4-Halbsphären mit konstanten Randwerten enthält. Schließlich wurde auch der Fall von intrinsisch biharmonischen Abbildungen im Sinne von R. Moser betrachtet. Hier ergab sich ein überraschender Unterschied zum extrinsischen Fall, der sich bei den Ergebnissen im Inneren nicht beobachten ließ. Trotzdem ließ sich mithilfe einer modifizierten Monotonieformel ein Hebbarkeitssatz für intrinsisch biharmonische Abbildungen am Rand beweisen.
Publications
- A boundary monotonicity inequality for variationally biharmonic maps and applications to regularity theory. Ann. Global Anal. Geom. 54(4):489– 508, 2018
S. Altuntas
(See online at https://doi.org/10.1007/s10455-018-9610-8) - Blow-up analysis and boundary regularity for variationally biharmonic maps
S. Altuntas und C. Scheven
