Asymptotik von Diskrepanzmaßen für Charakteristiken zweiter Ordnung von räumlichen Punktprozessen mit Anwendungen zur Modellidentifikation
Final Report Abstract
Im Zentrum des Projektes stand die Herleitung von Grenzwertsätzen für geeignete Abstandsmaße zwischen Produktdichten und ihren zugehörigen nichtparametrischen Schätzungen im Falle von d-dimensionalen stationären zufälligen Punktmustern (auch Punktprozesse genannt), die auf einer aufsteigenden Folge kompakter und konvexer Fenster mit unbegrenzt wachsendem Inkugelradius beobachtet werden können. Die erzielten Aussagen können als Grundlage für Anpassungstests zur Überprüfung hypothetischer Punktprozessmodelle, also zur Modellidentifikation, genutzt werden. Als Abstandsmaße wurden der integrierte quadratische Fehler der empirischen Produktdichte zweiter Ordnung bzw. der Paarkorrelationsfunktion sowie die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen empirischer und theoretischer Produktdichte zweiter (und auch höherer) Ordnung bzw. der Paarkorrelationsfunktion in endlich vielen Punkten betrachtet. Als Vorbild für diese Untersuchungen dienten analoge Ansätze bei Kerndichteschätzungen basierend auf unabhängigen, identisch verteilten Beobachtungen, die beginnend mit P. Hall in den 1980ern und bis heute auch von anderen untersucht wurden. Es muss dabei betont werden, dass der Übergang von der Dichteschätzung einer Verteilungsfunktion zu einer empirischen Radon-Nikodym-Dichte eines Momentenmaßes zweiter (und auch höherer) Ordnung eines zufälligen Zählmaßes eine große mathematische Herausforderung darstellte, die nur mit prinzipiell neuen Methoden zu bewältigen war. Es wurden angemessene Mischungsbedingungen (insbesondere das sogenannte Brillinger- Mischen) und auf diese Bedingungen zugeschnittene Beweistechniken gefunden, mit denen die gemeinsame asymptotische Normalverteiltheit der empirischen Produktdichten in endlich vielen Punkten mit asymptotischer Unkorreliertheit an verschiedenen Punkten bewiesen wird. Das zufällige Grenzfeld stellt damit ein (farbiges) Gaußsches Rauschen dar, weswegen keine funktionalen zentralen Grenzwertsätze ableitbar waren. Es wurde somit ein spezieller Beweis benötigt und auch gefunden, mit dem die asymptotische Normalverteiltheit des integrierten quadratischen Fehlers der empirischen Produktdichte zweiter Ordnung hergeleitet werden konnte. Hervorzuheben ist, dass die erzielten Ergebnisse nicht etwa nur für Poissonsche Punktprozesse, sondern für eine breite Klasse von Punktprozessen mit relativ milden Mischungsbedingungen gültig sind. Dies ist deswegen bemerkenswert, weil bislang fast ausschließlich für Poissonprozesse theoretisch motivierte Anpassungstests, sogenannte CSR (complete spatial randomness) -Tests, existierten. Somit liefern die erzielten Resultate nicht nur neue CSR-Tests, sondern auch neue Möglichkeiten zur Identifizierung nicht-Poissonscher Punktmuster. Weiterhin wurden die Mischungsbedingungen wie Brillinger-Mischen, α-Mischen und β-Mischen anhand von verschiedenen Modellklassen diskutiert und miteinander verglichen. Diese Untersuchungen sind noch nicht komplett, und es sind zugleich noch ungelöste Fragen vorhanden. Dabei sollten noch weitere Punktprozessmodelle auf diese Mischungsbedingungen untersucht werden, insbesondere abhängig verdünnte Poisson- und Cox-Prozesse. Weiterhin sollte das sogenannte Zwei-Stichproben-Problem – also der Test der Nullhypothese, dass die unabhängigen Beobachtungen von zwei Punktfeldern zu demselben Punktprozessmodell gehören – mit Hilfe von Größen zweiter Ordnung genauer untersucht werden. Erste Ergebnisse wurden mittels geeignet skalierter empirischer K-Funktionen erzielt. Leider konnte der zentrale Grenzwertsatz für den integrierten quadratischen Fehler bislang nicht wie geplant auf β-mischende Punktprozesse übertragen werden, da die Behandlung der zu untersuchenden asymptotisch degenerierten U-Statistik im Falle β-mischender Felder ein sehr schwieriges mathematisches Neuland ist. Es geht dabei auch um das Verständnis dieser wichtigen Mischungseigenschaft, die deutlich weniger Einschränkungen an die Momente verlangt wie das Brillinger-Mischen. Es konnten dennoch eine Reihe von zentralen Grenzwertsätzen für α- und β-mischende Mosaike sowie für empirische Palmsche Markenverteilungen β-mischenden markierten Punktprozessen im Projektzeitraum bewiesen werden.
Publications
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