Untersuchung eines nichtglatten Newtonverfahrens für steuer- und zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme
Final Report Abstract
Im Zentrum des Projekts stand die Untersuchung eines nichtgtatten Newtonverfahrens zur effizienten numerischen Lösung von Steuer- und zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und/oder differential-algebraischen Gleichungen. Derartige Optimalsteuerungsprobleme sind von großer praktischer Bedeutung, da durch sie zahlreiche technische und ökonomische Vorgänge beschrieben werden. Typische Beispiele sind die Bahnplanung für Roboter, die Simulation von Testfahrten und die optimale Steuerung verfahrenstechnischer Prozesse. Nichtglatte Newtonverfahren basieren in diesem Zusammenhang auf der iterativen, numerischen Erfüllung der notwendigen Optimalitätsbedingungen und stellen eine effiziente, strukturangepasste Verfahrensklasse dar. Sie besitzen gegenüber klassischen indirekten Methoden den Vorteil, dass sie keine Annahmen über die Schaltstruktur des zu Grunde liegenden Problems benötigen, d.h. der Anwender muss die Abfolge von aktiven und inaktiven Teilstücken der Steuer- und Zustandsbeschränkungen nicht kennen. Im Rahmen des Projekts wurden Konvergenzuntersuchungen und Regularisierungsstrategien für die betrachteten Optimalsteuerungsprobleme und deren Diskretisierungen durchgeführt. Für die diskretisierten Probleme konnte die lokal quadratische Konvergenz nachgewiesen werden. Für die kontinuierlichen Probleme konnte lediglich eine globale Konvergenz unter Zuhilfenahme einer Liniensuchstrategie nachgewiesen werden, während lokal superlineare Konvergenz und Gitterunabhängigkeit nur numerisch beobachtet werden konnten. Der Nachweis der lokal superlinearen Konvergenz gelingt unter der Annahme, dass ein sogenannter Glättungsoperator konstruiert werden kann, wobei dessen tatsächliche Konstruktion ein noch offenes Problem darstellt. Besonders effizient sind die Verfahren für schwach nichtlineare Probleme. Für stark nichtlineare Probleme sind sie etablierten direkten Diskretisierungsverfahren hinsichtlich Robustheit gegenüber schlechten Startschätzungen häufig unterlegen. Anwendung fanden die nichtglatten Newtonverfahren u.a. im Reglerentwurf. Mit Hilfe des virtuellen Steuerungskonzepts und des modellprädiktiven Regelungskonzepts konnten Rückkoppelungssteuerungen für linearisierte Kontrollprobleme realisiert werden, die es erlauben, reine Zustandsbeschränkungen zumindest in erster Näherung einzuhalten. Darüber hinaus konnten Problemstellungen aus der Robotersteuerung und der Strömungssimulation (Navier-Stokes-Gleichungen) erfolgreich gelöst werden.
Publications
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Matthias Gerdts, Martin Kunkel
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Matthias Gerdts, Martin Kunkel
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Matthias Gerdts, Björn Hupping
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Matthias Gerdts, Martin Kunkel
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