Neue Formen der Adaptivität bei der Kreuzapproximation nicht-lokaler Operatoren

• Antragsteller: Professor Dr. Mario Bebendorf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314902964

Bei vielen Anwendungen aus Physik, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaft treten nicht-lokale Operatoren auf. Solche Operatoren zeichnen sich dadurch aus, dass bei ihrer Anwendung jede der Eingabegrößen einen Einfluss auf jede der Ausgabegrößen hat. Beispiele hierfür sind die Integraloperatoren der Randintegralmethode, die Gauß-Transformation, die Lippmann-Schwinger-Gleichung in der quantenmechanischen Störungstheorie, nicht-ganzzahlige Potenzen und die Inverse von Differentialoperatoren. Aber auch Integraloperatoren zur Beschreibung von Levy-Prozessen im Risikomanagement gehören dieser Klasse an. Diskretisiert man sie, so erhält man voll besetzte Matrizen, die wegen der Komplexität der zugrunde liegenden Geometrie oder der angestrebten Genauigkeit der Lösung in der Regel großdimensioniert sind. Bereits die Speicherung solcher Matrizen stellt somit ein Problem dar, und die numerische Lösung von Gleichungssystemen, in denen diese als Koeffizientenmatrix auftreten, ist derzeit mittels klassischer Auflösungsverfahren in annehmbarer Zeit nicht realisierbar.In diesem Projekt soll ein neuer Zugang zur effizienten numerischen Behandlung von nicht-lokalen Operatoren entwickelt und untersucht werden. Sowohl die Schnelle Multipol-Methode als auch Hierarchische Matrizen können verwendet werden, um großdimensionierte Diskretisierungen solcher Operatoren mit logarithmisch-linearer Komplexität zu behandeln. Dabei wird der Operator lokal bzw. blockweise mit vorgegebener Genauigkeit approximiert. Die Approximation ist daher universell für alle rechte Seiten eines Gleichungssystems einsetzbar, wenn Gleichungssysteme mit diesem Operator gelöst werden sollen. Sind es viele Gleichungssystem mit demselben Operator, so ist diese Art der Approximation besonders effizient. Häufig (wahrscheinlich sogar in den meisten Fällen) ist aber nur ein einziges System für einen Operator zu lösen, weil dieser sich beispielsweise im Laufe einer Simulation verändert. In einer solchen Situation bietet die Universalität der Approximation keinen Vorteil -- ganz im Gegenteil: die Universalität wird durch die Generierung überflüssiger Informationen und deren Speicherung teuer bezahlt. Weil derzeit kaum Alternativen existieren, wird diese Art der Approximation aber dennoch verwendet. Das Ziel des Projektes ist es, diese Situation zu verbessern, indem eine neue Technik entwickelt wird, die die Approximation auf die rechte Seite zuschneidet. Dabei wird die neue Vorgehensweise sowohl auf die Schnelle Multipol-Entwicklung als auch auf Hierarchische Matrizen anwendbar sein und somit erfolgreiche, anerkannte Methoden auf bedeutsame Problemstellungen erweitern, für die sie bisher nicht sinnvoll anwendbar waren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen