Geometrische Strukturen und Darstellungen von Flächengruppen in Liegruppen

• Antragsteller: Shinpei Baba, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315299253

Die vorgeschlagenen Projekte zielen darauf ab, die Geometrie von Darstellungen der Fundamentalgruppen von Flächen S (Flächengruppen) in Liegruppen zu entwickeln. Endlich erzeugte diskrete Untergruppen von PSL (2, R) und PSL(2, C), sogenannte Kleinsche Gruppen, wurden in den vergangenen Jahrzehnten mit großem Erfolg untersucht. Sie sind die Gruppen der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Räume der Dimensionen zwei bzw. drei, und repräsentieren negativ gekrümmte Geometrie. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Teichmüller-Theorie sowie dem Studium Riemannscher Flächen und 3-dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten, insbesondere in Zusammenhang mit der Frage der Geometrisierung 3-dimensionaler topologischer Mannigfaltigkeiten. Das Thema meiner Projekte ist es, interessante Eigenschaften von Kleinschen Gruppen und Teichmüller-Theorie auf allgemeinere Darstellungen auszudehnen und das Zusammenspiel von Geometrie, Topologie, Algebra, Analysis und Dynamik zu verstehen. Eine Forschungsrichtung dieses Projekts ist das Studium der Geometrie von Darstellungen der Fundamentalgruppen von Flächen S in PSL (2, R) oder PSL (2, C), deren Bilder nicht-diskrete Untergruppen sind (nicht-diskrete Darstellungen). Das Ziel ist hierbei, ihre geometrische Bedeutung zu verstehen. Insbesondere sind sie verwandt mit der Dynamik der Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Charaktervarietät, dem Raum der Darstellungen von Flächengruppen. Eine weitere Forschungsrichtung sind Darstellungen der Fundamentalgruppen von Flächen S in Liegruppen von höherem Rang, insbesondere PSL (3, R) und PSL (3, C). Während Liegruppen von Rang eins "negativ gekrümmter Geometrie" entsprechen, weisen Liegruppen von höherem Rang "nichtpositiv gekrümmte Geometrie" auf und besitzen eine reiche Geometrie. Es ist ein zunehmend aktives Forschungsgebiet, und meine Projekte betreffen grundlegende Probleme bestimmter Darstellungen im Fall höheren Rangs.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen