Skalierungsgrenzwerte und lokale schwache Grenzwerte zufälliger Strukturen

• Antragsteller: Dr. Benedikt Stufler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315422461

In dem Projekt werden Skalierungsgrenzwerte und lokale schwache Grenzwerte für Modelle zufälliger Strukturen bewiesen.Skalierungsgrenzwerte beschreiben die asymptotische globale geometrische Gestalt einer Folge zufälliger Strukturen. Dieses Forschungsgebiet erhielt viel Aufmerksamkeit in neuerer Literatur, insbesondere durch die Pionierarbeiten von Le Gall und Miermont zur Brownian Planar Map, was unter anderem mit einem 2012 an Miermont verliehenen Preis der European Mathematical Society gewürdigt wurde. Solche Grenzwerte beschreiben globale Merkmale, jedoch keine lokalen Eigenschaften, wie etwa die Grenzverteilung des Grades eines zufälligen Knoten in einem zufälligen Graph. Asymptotische lokale Eigenschaften zufälliger gewurzelter Strukturen werden stattdessen durch lokale Grenzwerte beschrieben, insbesondere durch Benjamini-Schramm Grenzwerte. Beide Forschungsgebiete bauen eine interessante Brücke zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik.Der Großteil bisheriger Forschungsarbeit konzentriert sich auf geordnete Strukturen und Graphen mit unterscheidbaren Knoten, und bis auf einige Resultate für ungeordnete Bäume ist nur wenig über zufällige unmarkierte, also bis auf Symmetrie betrachtete, Strukturen bekannt. Der Fokus dieses Projekts liegt darin, Skalierungsgrenzwerte und lokale Grenzwerte zufälliger komplexerer unmarkierter Strukturen zu beweisen.Zunächst betrachten wir zufällige Graphen aus subkritischen Klassen, welche einige Aufmerksamkeit in neuerer Literatur erhielten. Hier unterscheidet man zwischen drei verschiedenen Modellen, je nachdem ob man markierte Graphen, unmarkierte Graphen, oder unmarkierte Graphen mit Wurzelknoten betrachtet. Wir haben Vorarbeiten zu Grenzwerten von markierter Graphen und unmarkierter Graphen mit Wurzelknoten geleistet. Eine wesentliche Herausforderung besteht darin, Grenzwerte für unmarkierte Graphen ohne Wurzelknoten zu erhalten, da die Automorphismen solcher Objekte eine kompliziertere Struktur aufweisen. Unsere Methode verwendet die von Bodirsky et al. entwickelte cycle-pointing Technik. Diesen Ansatz haben wir in einer weiteren Vorarbeit verwendet, um eine Vermutung von Aldous zum Skalierungsgrenzwert unmarkierter Bäume zu bestätigen. In diesem Projekt werden hiermit Skalierungsgrenzwerte und Benjamini-Schramm Grenzwerte zufälliger unmarkierter Graphen bewiesen.Desweiteren betrachten wir unmarkierte k-dimensionale Bäume, welche eine graphentheoretische Verallgemeinerung von Bäumen darstellen. Diese Objekte sind aus kombinatorischer Sicht interessant, da deren Abzählung auf verschiedene Weise untersucht wurde, und sie sind es auch aus algorithmischer Sicht, da viele NP-harte Probleme auf Graphen polynomielle Lösungsalgorithmen erlauben, wenn man sie auf k-dimensionale Bäume beschränkt. Unsere Lösungsansätze stützen sich auf enumerative Resultate von Gainer-Dewar und Gessel (2014), sowie auf vom Antragsteller (2015) entwickelte Methoden zu zufälligen enriched trees.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Grégory Miermont