Kombinatorische Beschreibung von Macdonald und Kostka-Foulkes Polynomen
Final Report Abstract
Der Schwerpunkt der Arbeit lag in der Untersuchung von endlich-dimensionalen Darstellungen von Lie Algebren, insbesondere von Schleifenalgebren und ihren Verallgemeinerungen. Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung dieser Darstellungen (eine bestimmte Menge von Matrizen), ist die Analyse der gemeinsamen Eigenvektoren. Alle interessanten Informationen hierüber sind kodiert in dem Charakter. Vor allem die in diesem Projekt untersuchten Macdonald und Kostka-Foulkes Polynome liefern Charaktere zu besonderen Darstellungen von Schleifenalgebren. Eine große Klasse dieser Darstellungen wurde klassifiziert und kombinatorisch greifbar gemacht. Hiermit wurde ein seit dem letzten Jahrtausend bestehendes Problem gelöst. Eine weitere große Klasse von Darstellungen wurde mit Methoden der homologischen Algebra untersucht und dadurch war es möglich, Resultate aus Spezialfällen zu verallgemeinern. Insbesondere die Dimension (des zugrunde liegenden Vektorraums) und die Menge der Eigenwerte konnte für diese Darstellungen berechnet werden. In weiteren Darstellungen von Lie Algebren wurde den Polynomen (den Charakteren) noch eine weitere Information (ein Grad) der Eigenwerte hinzugefügt. Dadurch war es möglich, eine vermutet kombinatorische Beschreibung der Charaktere zu beweisen und diese noch für eine weitere Klasse von Lie Algebren (symplektischen) zu formulieren und zu beweisen.
Publications
- Kirillov-Reshetikhin crystals for nonexceptional types. Advances in Mathematics 222 (2009), no.3, pp 1080-1116
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Feigin, Evgeny; Fourier, Ghislain; Littelmann, Peter
- PBW filtration and bases for symplectic Lie algebras. International Mathematics Research Notices (2011)
Feigin, Evgeny; Fourier, Ghislain; Littelmann, Peter
(See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnr014)
