Factorized Groups, Yang-Baxter Equation and local Nearrings
Final Report Abstract
Das Ziel des Projektes war es, spezielle Strukturaussagen über Gruppen zu erhalten, die sich als Produkt von zwei oder mehreren ihrer Untergruppen schreiben lassen. Wesentliche Ergebnisse betreffen den Fall, dass die Gruppe G = AB das Produkt von zwei Untergruppen A und B ist, die beide abelsche Untergruppen vom Index höchstens 2 enthalten. Die Frage der Auflösbarkeit solcher Gruppen wurde untersucht. Dabei kamen neue Beweismethoden zum Einsatz, die vom Antragsteller in Zusammenarbeit mit Professor Yaroslav Sysak, Kiew, entwickelt wurden. Als Anwendung der Hauptergebnisse ergibt sich unter anderem eine positive Antwort auf eine offene Frage von A. I. Sozutov im Kourovka Notebook. Weiterhin wurden bedeutsame Resultate über Gruppen der Form G = ABC erzielt, die sich als Produkt von drei paarweise vertauschbaren abelschen Untergruppen A , B und C schreiben lassen. Auch hier wurden spezielle Auflösbarkeitskriterien für solche Gruppen in wichtigen Fällen bewiesen. Schliesslich wurden im Berichtszeitraum dreifach faktorisierte Gruppen der Form G = AB = AK = BK mit einem Normalteiler K von G ausführlich untersucht, die bei vielen Untersuchungen eine zentrale Rolle spielen. Bekanntlich existiert eine dreifach faktorisierte dieser Form mit einem abelschen Normalteiler K, die der Bedingung A ∩ B = 1 genügt, genau dann, wenn es eine sogenannte Brace R (verallgemeinerter radikaler Ring) gibt, deren additive Gruppe R+ isomorph zu K und deren adjungierte Gruppe isomorph zu A ist. Dies erlaubt es, die Struktur von Braces über die Struktur von dreifach faktorisierten Gruppen zu untersuchen. Es ist bekannt, dass die adjungierte Gruppe eine endlichen Brace stets auflösbar ist. Ob auch die Umkehrung gilt, ist eine offene Frage und Gegenstand vieler Untersuchungen. Es ist uns gelungen, das Studium beliebiger endlicher Braces auf das Studium von solchen zurückzuführen, deren additive Gruppen endliche p-Gruppen sind. Die erhaltenen Forschungsergebnisse sind bedeutsam für die Theorie der faktorisierten Gruppen. Es wurden in allen drei betrachteten Themenkreisen wesentliche Ergebnisse erzielt. Wichtige Resultate betreffen auch die Theorie der Braces und damit der Yang-Baxter Gleichungen, die in letzter Zeit viel Aufmerksamkeit erfahren haben.
Publications
- Groups factorized by pairwise permutable abelian subgroups of finite rank, Advances in Group Theory and Applications 2 (2017), 13-24
Amberg, B., Sysak, Ya.
- Products of groups with abelian subgroups of small index, J. Group Theory
Amberg, B., Sysak, Ya.
(See online at https://doi.org/10.1515/jgth-2017-0008)
