Eigenvalues of compactly perturbed operators in Banach spaces

• Applicant: Dr. Marcel Hansmann
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2016 to 2021
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 320146460

• Final Report Year: 2021

Final Report Abstract

Das Ziel dieses Projekts war die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der diskreten Eigenwerte kompakt gestörter Operatoren in Banachräumen und die Beantwortung der Frage, in wie weit sich klassische Resultate über das Verhalten der Eigenwerte kompakter Operatoren (bzw. kompakt gestörter Operatoren in Hilberträumen) auf diese allgemeinere Situation übertragen lassen. Dabei sollten neben abstrakten Untersuchungen auch konkrete Operatoren der mathematischen Physik untersucht werden. Für den Fall, dass die Störung gewissen Entropiezahlenidealen angehört, wurden im Projekt neue, zum Teil überraschende, Resultate für die Eigenwerte der gestörten Operatoren gewonnen. Insbesondere ist es gelungen, Abschätzungen an alle Eigenwerte des gestörten Operators zu finden, die betragsmäßig größer als der Spektralradius des ungestörten Operators sind. Dies war in allen vorherigen Resultaten stets auf eine kleinere Klasse von Eigenwerten beschränkt. Desweiteren wurden im Projekt neue Resultate für die Lp -Spektren von Schrödinger-Operatoren auf der hyperbolischen Halbebene gefunden, einer wichtigen Klasse von Operatoren deren Spektren p-abhängig sind. Ferner konnte eine wichtige, in vielen Eigenwertabschätzungen auftretende Konstante sehr viel präziser beschrieben werden, als dies bisher möglich war. Neben den erwähnten Erfolgen des Projekts muss abschließend aber auch gesagt werden, dass die Untersuchung der Eigenwerte kompakt gestörter Operatoren in Banachräumen bei weitem noch nicht abgeschlossen ist und viele Fragen offen bleiben. Insbesondere konnte über die Frage der Optimalität der Exponenten in den Banachraum-Abschätzungen keine wesentliche neue Information gewonnen werden. Es bleibt also auch nach wie vor noch viel zu tun.

Publications

• Some remarks on upper bounds for Weierstrass primary factors and their application in spectral theory. Complex Anal. Oper. Theory, 11(6):1467–1476, 2017
  M. Hansmann
  
• Lp-spectrum and Lieb-Thirring inequalities for Schrödinger operators on the hyperbolic plane. Annales Henri Poincaré, 20(7) (2019) 2447-2479
  M. Hansmann
  
• Eigenvalues of compactly perturbed operators via entropy numbers. J. Spectr. Theory, 10(1):251-269, 2020
  M. Hansmann
  
• The Abstract Birman-Schwinger Principle and Spectral Stability. J. Anal. Math.
  M. Hansmann und D. Krejcirik