Invariant convexity in infinite dimensional Lie algebras

• Applicant: Professor Dr. Karl-Hermann Neeb
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2016 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 320351428

• Final Report Year: 2020

Final Report Abstract

Für die Lie-Algebra g einer zusammenhängenden unendlich dimensionalen Lie-Gruppe G gib es eine natürlich Dualität zwischen sogenannten halb-gleichstetigen schwach-*abgeschlossenen konvexen Teilmengen des topologischen Dualraums g1 von g, die unter der koad-jungierten Gruppe Ad*(G) invariant sind und unterhalbstetigen positiv homogenenen konvexen Funktionen auf offenen Teilmengen von g, die unter der adjungierten Gruppe invariant sind. Dies ist eine Verfeinerung der Korrespondenz zwischen offenen invarianten konvexen Kegeln in g und ihren Dualkegeln, die halb-gleichsstetig sind. Die Korrespondenz möchte man für interessante Klassen unendlich-dimensionaler Gruppen bzw. Lie-Algebren besser verstehen, da sie insbesondere wichtige Anwendungen in der unitären Darstellungstheorie dieser Gruppen hat. Zentrale Ergebnisse dieses Projekt betreffen die Klasse der getwisteten Schleifengruppen ℒφ(K) = {ξ ⋲ C∞ (ℝ, K) : (⩝t ⋲ ℝ) ξ(t + 2π) = φ(ξ(t))}, wobei K eine unendlich dimensionale Hilbert-Lie-Gruppe ist und Φ p AutpK) ein Automorphismus endlicher Ordnung. Diese Gruppen treten naturlicherweise in Form von Doppelerweiterungen G = ^ℒφ(K)×α ℝ auf, wobei α durch die Translationswirkung auf ℝ gegeben ist und ^ eine zentrale Erweiterung symbolisiert. Für solche Lie-Gruppen G kann man für “generische” Elemente λ des topologischen Dualraums die abgeschlossene konvexe Hülle der koadjungierten Bahn Oλ “ Ad*(G)λ sehr gut durch Konvexitätssätze beschreiben. Eine zentrale Rolle spielt hierbei die Konvexgeometrie der Weyl-Gruppe W eines lokal affinen Wurzelsystems, die wiederum auf den bemerkenswerten Konvexitätseigenschaften von unendlichen Spiegelungsgruppen beruht.

Publications

• Momentum maps for smooth projective unitary representations, in “Geometric Methods in Physics. XXXIV Workshop 2015”, Trends in Mathematics; Birkhäuser Verlag, 2016; 115–127
  Bas Janssens, K.-H. Neeb
  
• Isomorphisms of twisted Hilbert loop algebras, Can. J. Math. 69:2 (2017), 453–480
  T. Marquis, K.-H. Neeb
  
• Current superalgebras and unitary representations, J. Pure and Applied Algebra 222 (2018), 3303–3333
  K.-H. Neeb, M. Yousofzadeh
  
• Positive energy representations of double extensions of Hilbert loop algebras; Journal of the Mathematical Society of Japan 69:4 (2017), 1485–1518
  T. Marquis, K.-H. Neeb
  
• Projective unitary representations of infinite dimensional Lie groups, Kyoto Math. Journal 59:2 (2019), 293–341
  Bas Janssens, K.-H. Neeb
  
• A Survey on Invariant Cones in Infinite Dimensional Lie Algebras, Journal of Lie Theory 30:2 (2020), 513–564
  K.-H. Neeb