Ordinal-Pattern-Dependence: Grenzwertsätze und Strukturbrüche im langzeitabhängigen Fall mit Anwendungen in Hydrologie, Medizin und Finanzmathematik

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Schnurr
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 320834150

Ordinale Muster kommen ursprünglich aus der Theorie der dynamischen Systeme. Man betrachtet n aufeinanderfolgende Punkte und untersucht nur deren relative Lage. Diese ordinale Information wird in einem archetypischen Muster codiert. Im Jahr 2014 habe ich eine Methode beschrieben, wie ordinale Muster verwendet werden können, um den Grad der Abhängigkeit zwischen Zeitreihen zu messen: Findet man besonders häufig dieselben Muster (an denselben Zeitpunkten) in beiden Zeitreihen, so spricht man von positiver ordinaler Muster-Abhängigkeit; findet man gespiegelte Muster, entsprechend von negativer Abhängigkeit.Vor meinem Projekt ließen sich nur kurzzeitabhängige Zeitreihen untersuchen, also solche, bei denen der jeweils nächste Wert nur von einem sehr überschaubaren Zeithorizont abhängt. Gerade Datensätze in der Hydrologie sind aber häufig langzeitabhängig. Aus diesem Grund war es wichtig, Grenzwertsätze im langzeitabhängigen Fall zu beweisen. Dies ist uns gelungen: Ein komplexes Zusammenspiel aus dem Hurst-Parameter des Modells und Eigenschaften des verwendeten Schätzers bestimmen, welche Grenzverteilung man erhält. In der Hydrologie können unsere neuen Methoden verwendet werden, um Pegelnetzwerke zu planen oder homogene Gruppen für die Regionalisierung zu bilden. Allerdings zeigte sich auch ein neues Problem, welches wir angehen wollen: In der Hydrologie gibt es viele kategoriale Daten, etwa Hochwasserwarnstufen von 0 bis 5. Dabei finden sich in den untersuchten Datenvektoren viele Ties (mehrfach derselbe Wert). In der bisherigen Theorie werden solche einem wachsenden Muster zugeschlagen. Dadurch werden Abhängigkeiten systematisch überschätzt. Der einzige Ausweg ist es, explizit Muster mit Ties zuzulassen und dafür eine neue Theorie aufzubauen. Damit wird es auch möglich, Hochfrequenzdaten in der Finanzmathematik zu untersuchen, in denen ebenfalls viele Ties auftreten. Grenzwertsätze und Strukturbruchanalysen für diese neuen verallgemeinerten Muster sind ein Hauptziel des Projekts. Daneben sollen schlüssige Konzepte zu mehrdimensionalen Verallgemeinerungen ordinaler Muster eingeführt werden. Die Verwendung von zweidimensionalen Orts-Koordinaten statt der eindimensionalen Zeit, erlaubt es z.B. Klimadaten auf der Erdoberfläche zu untersuchen. Da es noch weitere Abhängigkeitsmaße gibt, die in der Zeitreihenanalyse verwendet werden, untersuchen wir auch den Zusammenhang zwischen diesen und der ordinalen Muster-Abhängigkeit. Die Zusammenhänge zu Kendall's Tau, Spearman's Rho und klassischer Korrelation konnten wir schon weitgehend aufdecken. Allerdings haben auch diese Konzepte mehrdimensionale Erweiterungen und ein entsprechender Vergleich soll noch erbracht werden. Neben den theoretischen Resultaten haben wir ein Paket in der Programmiersprache GNU R erstellt, welches auf CRAN veröffentlicht ist und der Community zum freien Download zur Verfügung steht. Jedes neue theoretische Resultat wird auch zukünftig in das Paket einfließen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen