Critical processes on curved and dynamically evolving manifolds

• Applicant: Professor Dr. Haye Hinrichsen
• Subject Area: Statistical Physics, Nonlinear Dynamics, Complex Systems, Soft and Fluid Matter, Biological Physics
• Term: from 2016 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 323217928

• Final Report Year: 2020

Final Report Abstract

In diesem Projekt untersuchen wir, wie sich kritische Phänomene in nichttrivialen Geometrien verhalten. Dabei stellen wir uns einerseits die Frage, wie sich Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtssysteme mit Phasenübergängen zweiter Ordnung auf ungeordneten Gittern verhalten, da man in gekrümmten oder dynamischen Geometrien bei der numerischen Simulation solcher Systeme auf unregelmäßige Gitter angewiesen ist. Im Mittelpunkt steht dabei die Frage, wie sich verschiedene Arten eingefrorener Unordnung auf die universellen Eigenschaften eines kritischen Phänomens auswirken. Zu diesem Zweck haben wir umfangreiche numerische Monte-Carlo-Simulationen von prototypischen Systemen auf ungeordneten Gittern durchgeführt, so z.B. das Ising-Modell als Beispielsystem für einen Ferromagneten im thermodynamischen Gleichgewicht, den Kontaktprozess als ein Nichtgleichgewichtsmodell für die Ausbreitung von Epidemien sowie spezielle Modelle, die im Zusammenhang mit selbstorganisiertem kritischem Verhalten stehen. Unsere Ergebnisse zeigen, dass der Einfluss von sogenannter topologischer Unordnung auf kritische Phänomene derzeit noch unzureichend verstanden ist. Insbesondere gelang es uns, spezielle ungeordnete Gitter mit konstanter Koordinationszahl zu entwickeln, mit deren Hilfe wir zeigen konnten, dass ein weithin akzeptiertes Kriterium fuür die Relevanz eingefrorener Unordnung revidiert werden muss. Entgegen weitläufiger Meinung zeigen unsere Ergebnisse, dass lokale räumliche Korrelationen in der Anzahl der wechselwirkenden Nachbarn kein adäquates Maß sind, um den Einfluss von Unordnung auf das Verhalten eines kritischen Systems vorhersagen zu können. Andererseits befasst sich das Pro jekt mit der mathematischen Beschreibung integrabler quantenmechanischer Systeme in nichttrivialen Geometrien. Hier spielt das Konzept der Verschränkung eine zentrale Rolle, welches besagt, dass quantenmechanische Information nicht notwendigerweise lokal gespeichert sein muss. So seltsam dieses Konzept auch wirken mag, ist sein Verständnis für innovative technische Methoden wie z.B. Quantenteleportation und quantenmechanisch abhörsichere Datenübertragung sehr wichtig. Wir haben uns zum einen mit der Beschreibung von verschränkten Zuständen durch sogenannte Tensornetzwerke befasst, mit denen komplexe verschränkte Systeme als Netze kleiner paarweise verschränkter Komponenten dargestellt werden können. Auf diese Weise geben Tensornetzwerke einen Einblick in das Zusammenspiel zwischen Verschränkung und der Renormierungsgruppe, einem Konzept aus der Quantenfeldtheorie. Wir haben Methoden aus der Signalverarbeitung eingesetzt, um eine diese Art der Verschränkungs-Renormierung (engl. multi-scale entanglement-renormalization, MERA) herzuleiten und zu untersuchen. Als einfaches Beispielsystem einer Feldtheorie in einer nichttrivialen Geometrie haben wir freie Fermionen auf einem Torus untersucht. Ein wichtiges modernes Instrument ist hier die modulare Theorie von Tomita und Takesaki, mit der es möglich ist, Verschränkung in Quantenfeldtheorien mathematisch präzise zu beschreiben. Leider hängen ihre Details stark vom verwendeten physikalischen Modell ab und sind nur in wenigen Fällen bekannt. In unseren Arbeiten haben wir sie für masselose Fermionen bei endlicher Temperatur auf einem Torus exakt gelöst. In der Natur beschreiben solche Teilchen beispielsweise das Verhalten von Elektronen auf einem schmalen Kreisband aus Graphen. Darüber hinaus haben wir auch die zugehörige Verschränkungsentrope bestimmt, mit der die vorhandene Verschränkung quantifiziert wird.

Publications

• Two-dimensional Ising model on random lattices with constant coordination number, Phys. Rev. E 97, 022144 (2018)
  M. Schrauth, J. A. J. Richter, and J. S. E. Portela
  
• Violation of the Harris-Barghathi-Vojta criterion, Phys. Rev. Lett. 121, 100601 (2018)
  M. Schrauth, J. S. E. Portela, and F. Goth
  
• Entanglement and relative entropy of a chiral fermion on the torus, Phys. Rev. D 100, 105015 (2019)
  P. Fries and I. A. Reyes
  
• Entanglement Spectrum of Chiral Fermions on the Torus, Phys. Rev. Lett. 123, 211603 (2019)
  P. Fries and I. A. Reyes
  
• Fast algorithm for topologically disordered lattices with constant coordination number, Phys. Rev. Research 1, 033061 (2019)
  M. Schrauth and J. S. E. Portela
  
• Renormalization of lattice field theories with infinite-range wavelets, J. Stat. Mech. 064001 (2019)
  P. Fries, I. Reyes, J. Erdmenger, and H. Hinrichsen
  
• Universality of continuous phase transitions on random Voronoi graphs, Phys. Rev. E 100, 062118 (2019)
  M. Schrauth and J. S. E. Portela