Quadratic Chabauty for integral points
Final Report Abstract
3. Zusammenfassung u Ausgangspunkt des Projekts war die Frage, f¨r welche gazing Zahlen x der Ausdruck f (x) = f0 + f1 x+. . .+fd xd ein Quadrat ist, wobei d > 2 ist und f0 , . . . , fd gegebene ganze Zahlen sind. Zwar ist bekannt, dass es stets nur endlich viele solcher x gibt, doch ist kein allgemeiner praktikabler Algorithmus zur Bestimmung derselben bekannt. Geometrisch definiert die Gleichung y 2 = f (x) eine (sog. hyperelliptische) algebraische Kurve X vom Geschlecht g > 1, wobei d = 2g + 1 oder d = 2g + 2 gilt. Die Fragestellung lautet also, welche ganzzahligen Punkte es auf X gibt. u Dieselbe Frage kann auch f¨r allgemeinere algebraische Kurven X vom Geschlecht g > 1 gestellt werden. Weiterhin ist die Frage nach der (in diesem Fall endlichen) Menge X(Q) der rationalen Punkte von Interesse. a u Die Kurve X l¨sst sich auf nat¨rliche Art und Weise in ein g-dimensionales geometrisches Oba jekt, die Jacobische Variet¨t J einbetten, deren Menge J(Q) der rationalen Punkte eine endlich a erzeugte abelsche Gruppe bilden. Ist der Rang r dieser Gruppe kleiner als g, so l¨sst sich X(Q) oft mit der p-adisch analytischen Methode von Chabauty berechnen, welche lineare Relationen u in J(Q) verwendet. In einer Vorarbeit haben Balakrishnan, Besser und M¨ller quadratische Relationen in J(Q) verwendet, um die ganzzahligen Punkte auf hyperelliptischen Kurven algou rithmisch zu berechnen, f¨r die d = 2g + 1 und r = g gelten. Das schwierigste algorithmische o Problem war hierbei die Berechnung der p-adischen H¨he auf J(Q), einer quadratischen Form u auf J(Q) mit Werten in Qp , wof¨r ein technisch komplizierter und recht ineffizienter Algorithmus von Balakrishnan und Besser benutzt wurde. In diesem Projekt wurde diese Methode auf den Fall d = 2g + 2 unter der Annahme, dass f normiert ist, verallgemeinert. Hierzu wurde ein neuer Algorithmus zur Berechnung der po u adischen H¨he eingef¨hrt, der auch im Fall d = 2g + 1 anwendbar und dann deutlich einfacher und effizienter als der von Balakrishnan und Besser ist. Weiterhin haben wir eine Algorithmus vorgelegt, mit dem sich in vielen F¨llen die OK -ganzen Punkte auf normierten hyperelliptischen a Kurven X/K mit d = 2g + 2 berechnen lassen, wobei OK der Ganzheitsring eines Zahlk¨rpers K o ist, welcher der Bedingung rk(J(K)) ≤ [K : Q]g − rk(O× ) gen¨gt. Derzeit arbeiten wir noch an K u einer Verallgemeinerung auf den nicht-normierten Fall sowie auf den Fall superelliptische Kurven y n = f (x); ein theoretischer Algorithmus zur Berechnung der p-adischen H¨he f¨r letztere liegt o u bereits vor. o Balakrishnan und Dogra haben gezeigt, dass mit p-adischen H¨hen auch X(Q) in manchen F¨llen a u algebraischer Kurven, welche r = g und eine geometrische Zusatzbedingungen erf¨llen, berechnet werden kann. In diesem Projekt wurde mit Balakrishnan, Dogra, Tuitman und Vonk dieser Ansatz algorithmisch ausgearbeitet und es wurden einige offene Modulprobleme im Kontext o p-adischer Galoisdarstellungen elliptischer Kurven gel¨st. Insbesondere erlaubt im hyperelliptisa o chen Fall der bereits erw¨hnte Algorithmus zur Berechnung der p-adischen H¨he eine deutliche Effizienzsteigerung der Methode. u Dar¨ber hinaus wurde im Projekt mit Box und Goodman eine weitere Verallgemeinerung der a u u Methode von Chabauty erarbeitet. Mit dieser l¨sst sich f¨r manche Kurven X/Q, f¨r welche o u o dies vorher nicht m¨glich war, die Menge X(K) f¨r alle Zahlk¨rper K/Q von festem Grad d o berechnen. Auch hiermit wurden im Projekt einige offene Modulprobleme gel¨st. Diese Methode wurde bereits von anderen Autoren aufgegriffen; so hat Box sie verwendet um die Modularit¨t √ a aller elliptischer Kurven uber quartischen Zahlk¨rpern, welche nicht 5 enthalten, zu zeigen.
Publications
- Curves with sharp Chabauty-Coleman bound, Arithmetic Geometry, Number Theory, and Computation, Springer Series Simons Symposia, 461–484, 2021
Stevan Gajović
(See online at https://doi.org/10.1007/978-3-030-80914-0_15) - p-adic adelic metrics and u Quadratic Chabauty I
Amnon Besser, Steffen Müller and Padmavathi Srinivasan
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.03873) - Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
Jennifer Balakrishnan, Netan Dogra, Steffen Müller, Jan Tuitman and Jan Vonk
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2101.01862) - Cubic and Quartic Points on Modular Curves Using Generalised Symmetric Chabauty, International Mathematics Research Notices 02 2022. rnab358
Josha Box, Stevan Gajović and Pip Goodman
(See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnab358) - The density of polynomials of degree n over Zp having exactly r roots in Qp, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 124, no. 5, 713–736, 2022
Manjul Bhargava, John Cremona, Tom Fisher and Stevan Gajović
(See online at https://doi.org/10.1112/plms.12438) - Variations on the method of Chabauty and Coleman, PhD thesis, University of Groningen, 2022
Stevan Gajović
(See online at https://doi.org/10.33612/diss.223705834)
