Quadratic Chabauty for integral points
Final Report Abstract
Ausgangspunkt des Projekts war die Frage, für welche gazing Zahlen x der Ausdruck f (x) = f0 + f1 x+. . .+fd xd in Quadrat ist, wobei d > 2 ist und f0 , . . . , fd gegebene ganze Zahlen sind. Zwar ist bekannt, dass es stets nur endlich viele solcher x gibt, doch ist kein allgemeiner praktikabler Algorithmus zur Bestimmung derselben bekannt. Geometrisch definiert die Gleichung y 2 = f (x) eine (sog. Hyperelliptische) algebraische Kurve X vom Geschlecht g > 1, wobei d = 2g + 1 oder d = 2g + 2 gilt. Die Fragestellung lautet also, welche ganzzahligen Punkte es auf X gibt. Dieselbe Frage kann auch für allgemeinere algebraische Kurven X vom Geschlecht g > 1 gestellt werden. Weiterhin ist die Frage nach der (in diesem Fall endlichen) Menge X(Q) der rationalen Punkte von Interesse. Die Kurve Xässt sich auf natürliche Art und Weise in ein g-dimensionales geometrisches Oba jekt, die Jacobische Varietät J einbetten, deren Menge J(Q) der rationalen Punkte eine endlich a erzeugte abelsche Gruppe bilden. Ist der Rang r dieser Gruppe kleiner als g, so lässt sich X(Q) oft mit der p-adisch analytischen Methode von Chabauty berechnen, welche lineare Relationen u in J(Q) verwendet. In einer Vorarbeit haben Balakrishnan, Besser und Müller quadratische Relationen in J(Q) verwendet, um die ganzzahligen Punkte auf hyperelliptischen Kurven algorithmisch zu berechnen, für die d = 2g + 1 und r = g gelten. Das schwierigste algorithmische Problem war hierbei die Berechnung der p-adischen Höhe auf J(Q), einer quadratischen Form auf J(Q) mit Werten in Qp , wofür ein technisch komplizierter und recht ineffizienter Algorithmus von Balakrishnan und Besser benutzt wurde. In diesem Projekt wurde diese Methode auf den Fall d = 2g + 2 unter der Annahme, dass f normiert ist, verallgemeinert. Hierzu wurde ein neuer Algorithmus zur Berechnung der p-adischen Höhe eingeführt, der auch im Fall d = 2g + 1 anwendbar und dann deutlich einfacher und effizienter als der von Balakrishnan und Besser ist. Weiterhin haben wir einen Algorithmus vorgelegt, mit dem sich in vielen Fällen die OK -ganzen Punkte auf normierten hyperelliptischen Kurven X/K mit d = 2g + 2 berechnen lassen, wobei OK der Ganzheitsring eines Zahlkörpers K o ist, welcher der Bedingung rk(J(K)) ≤ [K : Q]g − rk(O× ) genügt. Derzeit arbeiten wir noch an einer Verallgemeinerung auf den nicht-normierten Fall sowie auf den Fall superelliptische Kurven y n = f (x); ein theoretischer Algorithmus zur Berechnung der p-adischen Höhe für letztere liegt bereits vor. Balakrishnan und Dogra haben gezeigt, dass mit p-adischen Höhen auch X(Q) in manchen Fällen algebraischer Kurven, welche r = g und eine geometrische Zusatzbedingungen erfüllen, berechnet werden kann. In diesem Projekt wurde mit Balakrishnan, Dogra, Tuitman und Vonk dieser Ansatz algorithmisch ausgearbeitet und es wurden einige offene Modulprobleme im Kontext p-adischer Galoisdarstellungen elliptischer Kurven gelöst. Insbesondere erlaubt im hyperelliptischen Fall der bereits erwähnte Algorithmus zur Berechnung der p-adischen Höhe eine deutliche Effizienzsteigerung der Methode. Darüber hinaus wurde im Projekt mit Box und Goodman eine weitere Verallgemeinerung der Methode von Chabauty erarbeitet. Mit dieser lässt sich für manche Kurven X/Q, für welche dies vorher nicht möglich war, die Menge X(K) für alle Zahlkörper K/Q von festem Grad berechnen. Auch hiermit wurden im Projekt einige offene Modulprobleme gelöst. Diese Methode wurde bereits von anderen Autoren aufgegriffen; so hat Box sie verwendet um die Modularität aller elliptischer Kurven über quartischen Zahlkörpern, welche nicht √5 enthalten, zu zeigen.
Publications
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Curves with sharp Chabauty-Coleman bound, Arithmetic Geometry, Number Theory, and Computation, Springer Series Simons Symposia, 461–484, 2021
Gajović, Stevan
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p-adic adelic metrics and u Quadratic Chabauty I
Amnon Besser, Steffen Müller and Padmavathi Srinivasan
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Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
Jennifer Balakrishnan, Netan Dogra, Steffen Müller, Jan Tuitman and Jan Vonk
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Cubic and Quartic Points on Modular Curves Using Generalised Symmetric Chabauty, International Mathematics Research Notices 02 2022. rnab358
Box, Josha; Gajović, Stevan & Goodman, Pip
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The density of polynomials of degree n over Zp having exactly r roots in Qp, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 124, no. 5, 713–736, 2022
Bhargava, Manjul; Cremona, John; Fisher, Tom & Gajović, Stevan
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Variations on the method of Chabauty and Coleman, PhD thesis, University of Groningen, 2022
Gajović, Stevan
