Die explizite Bombieri-Lang-Vermutung für Flächen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Ingrid Bauer; Professor Dr. Michael Stoll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 327638107

Das Hauptaugenmerk dieses Projekts liegt auf dem Studium der Menge X(K) der K-rationalen Punkte einer Varietät X allgemeinen Typs, welche über einem Zahlkörper K definiert ist. Wenn X eine Kurve ist, dass ist X genau dann von allgemeinem Typ, wenn X Geschlecht mindestens 2 hat. Für diese Kurven besagt die Vermutung von Mordell, die von Faltings bewiesen wurde, dass X(K) stets endlich ist. Diese Aussage ist der eindimensionale Fall der schwachen (Bombieri-)Lang-Vermutung:Ist X eine Varietät von allgemeinem Typ über einem Zahlkörper K, dann ist X(K) nicht Zariski-dicht in X.Im Allgemeinen ist diese Vermutung völlig offen. Nach Resultaten von Faltings gilt sie für Kurven und allgemeiner für Untervarietäten vonabelschen Varietäten. Auch in diesen Fällen ist es jedoch völlig unklar, ob eine explizite Beschreibung von X(K) erhalten werden kann. Im Fallvon Kurven hat es in den letzten Jahren beachtliche Fortschritte gegeben, für Flächen hingegen ist praktisch nichts bekannt. Für eine Fläche von allgemeinem Typ besagt die Vermutung, dass es außerhalb von endlich vielen Kurven vom Geschlecht höchstens 1 nur endlich viele rationale Punkte gibt.Das Ziel des Projekts ist es, einerseits die Vermutung für bestimmte Klassen von Flächen zu beweisen und andererseits Methoden für die explizite Bestimmung von X(K) zu entwickeln.Bauer ist eine anerkannte Expertin für Flächen von allgemeinem Typ und ihre Modulräume und Stoll ist ein führender Experte für Arithmetik von Kurven und algorithmische Methoden. In dem beantragten Projekt sollen diese Kompetenzen gebündelt werden, um ein ideales Umfeld für das Studium der rationalen Punkte auf Flächen allgemeinen Typs zu schaffen. Es sollen ein Promotionsprojekt und ein Projekt für einen Postdoc unter der gemeinsamen Betreuung der Antragsteller durchgeführt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen