Die explizite Bombieri-Lang-Vermutung für Flächen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt geht es um rationale Punkte auf algebraischen Varietäten. Eine algebraische Varietät ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten eine oder mehrere algebraische Gleichungen erfüllen. Ein solcher Punkt ist rational, wenn seine Koordinaten rationale Zahlen sind. Man kann algebraische Varietäten grob nach ihrer Dimension unterscheiden: Kurven haben Dimension 1, Flächen haben Dimension 2, usw. Während wir ein recht gutes Verständnis von der Struktur der Menge der rationalen Punkte auf einer algebraischen Kurve haben, ist über die Menge der rationalen Punkte auf einer Fläche noch wenig bekannt. Es gibt eine Vermutung, wie diese Menge für sogenannte Flächen von allgemeinem Typ aussehen sollte. Für gewisse Arten von Flächen ist diese Vermutung bewiesen, aber im allgemeinen ist sie offen. Allerdings führt der Beweis für diese Flächen nicht zu einem Algorithmus, der zu einer gegebenen Fläche eine konkrete Beschreibung ihrer Menge der rationalen Punkte liefert. Das Ziel dieses Projekt ist es, eine Methode zu finden, die wenigstens in einigen Fällen und für Flächen aus einer gewissen Familie eine solche konkrete Beschreibung lieferen kann. Diese Beschreibung hat zwei Teile. Der erste Teil besteht in einer Liste von Kurven auf der Fläche (die unendlich viele rationale Punkte haben können). Der zweite Teil zählt die verbleibenden endlich vielen rationalen Punke auf. Für den ersten Teil haben wir eine vollständige Beschreibung (für die Flächen der Familie, die wir betrachtet haben). Für den zweiten Teil haben wir eine Methode, die in vielen Fällen funktioniert und uns etliche konkrete Beispiele von Flächen liefert, für die wir die Menge der rationalen Punkte vollständig bestimmen können.
