Stabilität deterministischer und stochastischer nichtlinearer parabolischer partieller Differentialgleichungen mit Degeneriertheiten

• Antragsteller: Professor Christian Kühn, Ph.D., seit 3/2019
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 334362478

Es werden (stochastische) nichtlinare partielle Differentialgleichungen zweiter und vierter Ordnung untersucht.Ein Schwerpunkt liegt auf freien Randwertproblemen für dünne viskose Flüssigkeitsfilme, welche durch eine degeneriert-parabolische partielle Differentialgleichung vierter Ordnung (Dünnfilmgleichung) beschrieben werden. Dies ist eine Fortsetzung bestehender Arbeiten des Antragsstellers, welche während der Promotion am MPI Leipzig und der Postdoktorandenaufenthalte in Kanada und den USA angefertigt wurden. Dabei ist insbesondere die Regularität von Lösungen an der Kontaktlinie, an welcher sich die Phasen flüssig, fest und gasförmig treffen, von Interesse. Hinreichende Regularität ermöglicht den Beweis von Eindeutigkeit und qualitativer Eigenschaften von Lösungen. Die vorgeschlagenen Projekte haben zum Ziel, bestehende Arbeiten von zwei auf drei Dimensionen und eine größere Klasse von Gleichungen, welche unterschiedlichen Annahmen der Physik an der Grenzfläche zwischen fest und flüssig entsprechen, zu verallgemeinern. Daneben ist auch die zeitliche und räumliche Asymptotik von Lösungen von Interesse. Teile dieser Forschungsvorhaben werden gemeinsam mit Dr. Christian Seis (Universität Bonn) und Dr. Mircea Petrache (MPI Leipzig/Universität Bonn) durchgeführt.Neben der Weiterführung bestehender Projekte wird auch die Ausweitung der Analysis auf eine stochastische Version der Dünnfilmgleichung angestrebt. Diese Gleichung wurde vor etwa zehn Jahren in der physikalischen Literatur vorgeschlagen, wobei aber bis heute keine Arbeiten in mathematischen Journalen existieren. Der Fokus der Arbeit soll hier auf dem Beweis der Existenz milder Lösungen liegen, wobei die Analysis des deterministischen Falls Anwendung finden kann. Des Weiteren soll die zeitliche Asymptotik dieser Gleichung untersucht werden. Das Ziel ist, die aus der physikalischen Literatur zu erwartende Änderung der zeitlichen Asymptotik im stochastischen Fall rigoros nachzuweisen. Dies ist mit der Stabilität selbstähnlicher Lösungen verknüpft, welche der Antragssteller im deterministischen Fall eingehend untersucht hat.Einen weiteren Schwerpunkt stellt die Analyse der Stabilität wandernder Wellen für stochastische Reaktions-Diffusions-Gleichungen dar. Dabei sollen verschiedene Stabilitätsbegriffe numerisch und analytisch untersucht werden und die zeitliche Asymptotik betrachtet werden. Es ist geplant, dass Teile dieses Projekts mit Prof. Christian Kuehn, Ph.D., bearbeitet werden. Der Antragssteller erwartet zudem Synergien zwischen diesem und den beiden voranstehend vorgeschlagenen Forschungsvorhaben.Im dritten Jahr sollen langfristige Projekte angegangen werden, wie etwa die Beschreibung der Vergröberungsdynamik von Tröpfchen mittels stochastischer Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen und die Untersuchung der Stabilität wandernder Wellen für stochastische partielle Differentialgleichungen mittels der Evans-Funktion.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Kooperationspartner: Dr. Mircea Petrache; Professor Dr. Christian Seis
• Ehemaliger Antragsteller: Dr. Manuel Gnann, bis 2/2019