Stability of deterministic and stochastic nonlinear PDEs of parabolic type with degeneracies

• Applicant: Professor Christian Kühn, Ph.D., since 3/2019
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2017 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 334362478

• Final Report Year: 2020

Final Report Abstract

Im vorliegenden Projekt konnten wesentliche wissenschaftliche Fortschritte in den folgenden Themengebieten erzielt werden: A. Wohlgestelltheit und Regularität der Dünnfilmgleichung; B. Stochastische Dünnfilmgleichung; C. Stabilitüat nichtlinearer stochastischer Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Im Projektteil A konnte die für zweidimensionale Flüssigkeitsfilme bereits entwickelte Wohlgestelltheits- und Regularitätstheorie auf den physikalischen Fall dreidimensionaler Flüssigkeitsfilme erweitert werden. Die Analysis stellte sich als besonders aufwändig heraus, da die auf ein festes Gebiet transformierte Gleichung weniger Struktur als im Fall zweidimensionaler Flüssigkeitsfilme hat. Ferner konnte ein Stabilitätsresultat für die zurücklaufende wandernde Welle der Dünnfilmgleichung mit linearer Mobilität gezeigt werden. Dieses Verhalten beschreibt Entnetzung und verletzt das Vergleichsprinzip, welches für verwandte Gleichungen zweiter Ordnung wie die Poröse-Medien-Gleichung Gültigkeit hat. In Projektteil B konnte die Existenz nichtnegativer Martingallösungen für die stochastische Dünnfilmgleichung mit Gradientenrauschen vom Stratonovich-Typ bewiesen werden. Diese Analysis vereinfacht eine vorhergehende Arbeit, in welcher das Rauschen in Ito-Form angenommen wurde, was sich allerdings nicht physikalisch begruünden lüasst. Außerdem ist der Beweis konstruktiv im Sinne, dass ein numerisch implementierbares Trotter-Verfahren zur Lösung der stochastischen Dünnfilmgleichung verwendet wird. Schließlich wurde in Projektteil C eine Multiskalenentwicklung für das System der stochastischen Fitz-Hugh-Nagumo-Gleichungen mit additivem Rauschen um den (schnellen) wandernden Puls gezeigt. Dieses Gleichungssystem spielt eine wichtige Rolle in der Beschreibung von Informationstransport in Axonen. Die Analysis verallgemeinert vorhergehende Arbeiten auf den Fall nicht selbstadjungierter Linearisierungen von Störungen um die wandernde Welle, was wesentlich für komplexere Systeme mit Anwendungsbezug ist. Ferner wird ein Verfahren zur Berechnung der korrigierten Wellengeschwindigkeit unter dem Einfluss des Rauschens vorgeschlagen. Desweiteren wurde ein erster Schritt für Abschätzungen von Konzentrationen von Trajektorien nahe langsamer Mannigfaltigkeiten in partiellen Schnell-Langsam-Differentialgleichungssystemen erzielt. Über eine Galerkin-Projektion wurde das Problem endlich-dimensional approximiert und die entsprechenden Ungleichungen zur Kontrolle der Wahrscheinlichkeiten wurden danach auf den Grenzfall übertragen. Es wurde dann bewiesen, wie man Resultate für gewöhnliche stochastische Schnell-Langsam-Systeme mit fraktionaler Brownscher Bewegung behandeln kann. Insbesondere bietet dieses Resultat einen ersten Schritt, um eine generellere Theorie für Schnell-Langsam-Systeme mit Raum-Zeit-Korrelationen zu entwickeln.

Publications

• The Navier-slip thin-film equation for 3D fluid films: Existence and uniqueness. J. Differential Equations, 265(11):5832 – 5958, 2018
  M. V. Gnann und M. Petrache
  
• Travelling wave solutions for a thin-film equation related to the spin-coating process. European J. Appl. Math., 29(3):369–392, 2018
  M. V. Gnann, H. J. Kim und H. Knüpfer
  
• Stability of receding traveling waves for a fourth order degenerate parabolic free boundary problem. Adv. Math., 347:1173 – 1243, 2019
  M. V. Gnann, S. Ibrahim und N. Masmoudi
  
• Towards sample path estimates for fast-slow stochastic partial differential equations. European J. Appl. Math., 30(5):1004–1024, 2019
  M. V. Gnann, C. Kuehn und A. Pein
  
• Variety of unsymmetric multibranched logarithmic vortex spirals. European J. Appl. Math., 30(1):23–38, 2019
  V. Elling und M. V. Gnann
  
• Multiscale analysis for traveling-pulse solutions to the stochastic FitzHugh-Nagumo equations, pages 1–41, 2020
  K. Eichinger, M. V. Gnann und C. Kuehn
  
• Sample paths estimates for stochastic fast-slow systems driven by fractional brownian motion. J. Stat. Phys., pages 1 – 45, 2020
  K. Eichinger, C. Kuehn und A. Neamţu
  
• The stochastic thin-film equation: existence of nonnegative martingale solutions, Stochastic Processes and their Applications, Volume 130, Issue 12, December 2020, Pages 7260-7302
  B. Gess und M. V. Gnann