Existenz-, Regularitäts- und Eindeutigkeitsresultate zu geometrischen Variationsproblemen

• Antragsteller: Professor Dr. Jonas Hirsch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 339133928

Regularitäts- und Existenzfragen ergeben sich naturgemäß in geometrischen Variationsproblemen. Dieses Projekt befasst sich mit einigen von diesen. Obwohl die Frage nach der Regularität von lokaler Natur ist, haben ihre Antworten teilweise globale Auswirkungen. Diese interessieren uns im Besonderen.Plateau’s Problem fragt nach der Existenz einer Minimalfläche zu einem gegebenen Rand. Dieses Problem war für die Mathematik unglaublich inspirierend. Es führte zu einer Vielzahl von schönen Ansätzen. Wir werden zwei davon betrachten.“Integer rectifiable currents”, die die Oberfläche minimieren und “rectifiable currents mod(p)”, die ebenfalls die Oberfläche minimieren. Letztere sind “rectifiable currents” mit Vielfachheiten die Werte in den ganzen Zahlen mod(p) annehmen. Sie sind von Interesse, da sie bestimmte Arten von Singularitäten zulassen. Zum Beispiel möchten wir die optimale Randregularität von zweidimensionalen Minimieren der Oberfläche angehen. Eine Antwort hat eine unmittelbar Auswirkung auf die Topologie eines Minimierers. Damit ist das Problem von grossem Interesse in diesem Themenkomplex. Des Weiteren wollen wir die lokale Struktur der singulären Menge von flächenminimierenden “rectifiable currents mod(p)” untersuchen . Zuerst möchten wir uns auf p ungerade und Codimension eins beschränken. Eine besseres Verständnis der singulärem Menge eröffnet neue Fragestellungen.Polykonvexe Integranden spielen eine wichtige Rolle in der Variationsrechnung. Sie sind natürlich in mathematischen Modellen der Elastizitätstheorie. Wir wollen die Diskrepanz zwischen einem lokalen Regularitätsresultat und der Existenz von sehr wilden Lösungen untersuchen. Auf der einen Seite existiert partielle Regularität für Minimierer auf der anderen Seite wurden stark oszillierende Lösungen mit Hilfe der konvexen Integration konstruiert. Jede Art von besserem Verständnis der Unterschiede ist von großem Interesse.Die Willmore-Energie ist eine bekannte geometrische Oberflächenenergie für Anwendungen in den angewandten Wissenschaften. Unter anderem sind wir an einem allgemeinen Existenzergebnis für unorientierte Minimierer interessiert.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen