Digitale Bildverarbeitung mittel Shearlets

• Applicant: Professorin Dr. Gerlind Plonka-Hoch
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2006 to 2010
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 34097217

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

In diesem Projekt haben wir neue Multiskalenstrukturen mit besonders guter Richtungssensitivität konstruiert und analysiert. Besonderes Augenmerk lag dabei auf der diskreten Formulierung und der daraus resultierenden effizienten numerischen Realisierung der Methoden. Die entsprechenden Algorithmen wurden zur Analyse, Entstörung und Approximation digitaler Bilder angewendet. Dabei lässt die approximative Rotationsinvarianz der betrachteten Funktionensysteme eine verbesserte Detektion von orientierten Bildkanten zu. Seit einigen Jahren werden in der Literatur so genannte Shearlets betrachtet. Dies sind waveletartige Funktionensysteme, die sich durch Translation, Dilatation und Scherung aus einer einzigen Funktion generieren lassen. Die bekannten Shearlet-Elemente besitzen i.A. einen kompakten Träger im Frequenzbereich, so dass keine einfachen Filterbankalgorithmen mit FIR-Filtern abgeleitet werden können. Im Fokus unseres Projektes standen daher Überlegungen zur Konstruktion neuer richtungssensitiver Funktionensysteme im Zeitbereich. In Anlehnung an die Shearlets konstruierten wir zunächst nicht-adaptive redundante Waveletsysteme, die aus gerichteten Haarwavelets auf Dreiecken bestehen. Die kleinen, kompakten Träger dieser Wavelets im Zeitbereich erlauben sehr schnelle Filterbank-Algorithmen, die zur Entstörung und zur Approximation von Bildern eingesetzt wurden. Um zu einer besonders guten Richtungssensitivität zu gelangen, muss jedoch die Redundanz des Funktionensystems erhöht werden. Dies erschwert dann die Auffindung einer dünnen Darstellung der Bildsignale. Daher haben wir uns im zweiten Teil des Projektes der Konstruktion von neuen adaptiven Wavelet-Transformationen gewidmet, die sich der lokalen Bildgeometrie anpassen. Dieser Ansatz führt zu nichtredundanten Systemen, die sich sehr gut zur Approximation von Bildern eignen. Neben der Easy-Path-Wavelet-Transformation, die möglichst günstige Pfade in Bildern durchläuft, haben wir die so genannte Tetrolet-Transformation eingeführt. Die hierbei verwendeten verallgemeinerten Haarwavelets basieren auf einer adaptiven Tetromino-Zerlegung des diskreten Bildraumes und bilden sogar eine Orthonormalbasis. Wegen ihrer einfachen diskreten Formulierung und der geringen numerischen Komplexität ist die Tetrolet-Transformation äußerst effizient bei der Approximation von digitalen Bildern. Die entstehenden zusätzlichen Adaptivitätskosten konnten durch Modifikationen der Transformation wesentlich verringert werden. Die neu eingeführten Transformationen basieren auf verallgemeinerten Haarwavelets, so dass die zugehörige Multiskalenstruktur keine hohe Regularität besitzt. Durch Anwendung eines ana gepassten Postprocessing-Schemas waren wir in der Lage, die Regularität des approximierten Bildes nachträglich zu erhöhen, ohne dabei die Bildkanten zu verwischen. Unsere vorgeschlagene Methode verwendet dazu eine anisotrope Minimierung der totalen Variation des Bildes. Die guten Ergebnisse in der Anwendung bestätigten die theoretischen Resultate, dass die Approxiamationsqualität der Bilder bei geeigneter Wahl der Parameter des Postprocessing-Verfahrens verbessert werden kann. Anwendungen der erhaltenen neuen Multiskalen-Strukturen ergeben sich unter anderem in einem vom Bundeswirtschaftministerium finanziell unterstützten Kooperationsprojekt. Bei der zerstörungsfreien Prüfung von Stahlrohren mit Hilfe von Ultraschallsignalen lassen sich aus den aufgezeichneten Wellen Grauwertbilder erzeugen, die auf Unregelmäßigkeiten (z.B. gerichtete Unstetigkeiten) hin untersucht werden müssen, um Mängel im verwendeten Material zu lokalisieren.

Publications

• An orthonormal basis of directional Haar wavelets on triangles, Results in Mathematics, Vol. 53, No. 3-4 (2009) 323–331
  J. Krommweh
  
• Directional Haar wavelet frames on triangles, Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 27, No. 2 (2009) 215–234
  J. Krommweh, G. Plonka
  
• Image approximation by adaptive tetrolet transform, SAMPTA’09 - 8th international conference on Sampling Theory and Applications, 2009
  J. Krommweh
  
• Tight frame characterization of multiwavelet vector functions in terms of the polyphase matrix, International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, Vol. 7, No. 1 (2009) 9–21
  J. Krommweh
  
• A new sparse representation of seismic data using adaptive easy-path wavelet transform. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, Vol. 7, No. 3 (2010), 540–544
  J. Ma, G. Plonka, H. Chauris
  
• Gerichtete Haarwavelet-Systeme in der Bildverarbeitung, Dissertation, Universität Duisburg-Essen, Duisburg, 2010
  J. Krommweh
  
• Tetrolet shrinkage with anisotropic total variation minimization for image approximation, Signal Processing, Vol. 90, No. 8 (2010) 2529–2539
  J. Krommweh, J. Ma
  
• Tetrolet Transform: A new adaptive Haar wavelet algorithm for sparse image representation, Journal of Visual Communication and Image Representation, Vol. 21 , No. 4 (2010) 364–374
  J. Krommweh
  
• The curvelet transform: A review of recent applications, IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 27, No. 2 (2010), 118–133
  J. Ma, G. Plonka
  
• Curvelet-wavelet regularized split Bregman iteration for compressed sensing. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing
  G. Plonka, J. Ma