Quantenkohomologie homogener Räume

• Antragsteller: Dr. Christoph Bärligea
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 345815019

Gromov-Witten Theorie hat ihren Ursprung in physikalischen Modellen der String Theorie. Wegweisende Arbeiten von Kontsevich und Manin über den Modulraum stabiler Abbildungen haben der Theorie eine rigorose mathematische Grundlage gegeben, und dazu beigetragen lange offenstehende enumerative Probleme der algebraischen Geometrie zu lösen. Damit wurde ein neuer Forschungszweig initiiert, der weitreichende Anwendungen in algebraischer und symplektischer Geometrie und der theoretischen Physik findet.Grob gesprochen zählen Gromov-Witten Invariante Kurven von bestimmtem Grad und bestimmtem Geschlecht auf einer glatten projektiven Varietät. Man verlangt von den betrachteten Kurven, dass sie Inzidenzen erfüllen, die erzwingen, dass die resultierende Zahl der Kurven endlich ist. Gromov-Witten Invarianten können in dem sogenannten Quantenkohomologiering zusammengefasst werden. Dabei handelt es sich um eine graduierte Algebra, deren Quantenproduktstruktur eine Deformation des üblichen Cupprodukts ist. Die Assoziativität dieses Produkts liefert nichttriviale Relationen unter den enumerativen Lösungen.Das vorliegende Projekt handelt von Gromov-Witten Theorie auf homogenen Räumen - einer Klasse glatter projektiver Varietäten, die eine transitive Gruppenoperation tragen. Der Modulraum stabiler Abbildungen besitzt in diesem Fall besonders angenehme Eigenschaften, die einen intuitiven Zugang zur Gromov-Witten Theorie erlauben. Insbesondere ist es möglich, schärfere Aussagen über die minimalen Grade in Quantenprodukten zu treffen. In diesem Projekt geht es zuallererst darum, die Verteilung dieser minimalen Grade zu studieren, und gegebenenfalls eine minimale obere Schranke für sämtliche minimalen Grade zu berechnen.Ferner hat das Projekt zum Ziel, über die Irreduzibiltät hinaus, feinere Eigenschaften des Modulraums stabiler Abbildungen nachzuweisen. Eigenschaften des Modulraums wie Quasihomogenität erleichtern die Beschreibung von Gromov-Witten Invarianten und bereiten den Weg zu einem theoretisch wichtigem Verständnis von deren Struktur. Zuletzt wird dieses Projekt damit auch von neuen Methoden der Berechnung von Gromov-Witten Invarianten handeln.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Pierre-Emmanuel Chaput