(Konform) superintegrable Systeme zweiter Ordnung: Klassifikation, Transformationen und Anwendungen

• Antragsteller: Dr. Andreas Vollmer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 353063958

Die Untersuchung von Systemen mit einer maximalen Zahl funktional unabhängiger Bewegungsintegrale ist ein klassisches Problem. Ein Hamiltonsches System auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist (maximal) superintegrabel, falls es 2n-1 funktional unabhängige Bewegungsintegrale erlaubt. Des Projekts zielt darauf ab, ein besseres Verständnis 2-dimensionaler superintegrabler Systeme zu schaffen, besonders solcher mit quadratischen und kubischen Integralen. Dazu werden Methoden und Techniken eingesetzt werden, die kürzlich in verwandten Gebieten entwickelt wurden. Die vier Hauptziele des Projekts sind:(1) Die algebraisch-geometrische Klassifikation von 2-dimensionalen (maximal) superintegrablen Systemen zweiter Ordnung auf der Sphäre.In zwei Dimensionen sind die superintegrablen Systeme zweiter Ordnung zwar bekannt, aber nur in Form einer Liste, welche die algebraisch-geometrische Struktur dieser superintegrablen Systeme außer Acht lässt. Das Projekt möchte diese Lücke schließen und ein Verständnis der Varietät der superintegrablen Systeme zweiter Ordnung in 2D ermöglichen, was ein Schlüsselproblem in zwei Dimensionen darstellt. Außerdem ist die 2-Sphäre eine wichtige Grundlage für die Verallgemeinerung der Klassifikation für beliebige Dimension.(2) Das Verständnis Spezieller Funktionen, welche von (maximal) superintegrablen Systemen zweiter Ordnung in 2D induziert werden.Die algebraisch-geometrische Klassifikation hat eine Reihe von Anwendungen, etwa für quadratische Algebren, Transformationen superintegrabler Systeme oder in der Spektraltheorie. Außerdem kann die Klassifikation auf Spezielle Funktionen angewendet werden, was ein weiterer Schwerpunkt des Projekts sein wird. Es gibt eine enge Verbindung zwischen superintegrablen Systemen in Dimension 2 und dem sogenannten Askey-Schema hypergeometrischer orthogonaler Polynome. Das Projekt wird ein besseres Verständnis dieser Beziehung ermöglichen und neue Eigenschaften und Verknüpfungen zwischen speziellen Funktionen offenlegen.(3) Die Klassifikation der superintegrablen Systeme von Drach in der 2-Ebene mit einem kubischen und einem quadratischen Bewegungsintegral.(4) Eine Klassifikation solcher Systeme mit zwei kubischen Bewegungsintegralen.Superintegrable Systeme höherer Ordnung haben mindestens ein Integral von größerem als quadratischem Grad in den Geschwindigkeiten. Das heutige Wissen über solche Systeme ist begrenzt, aber superintegrable Systeme höherer Ordnung haben Eigenschaften, die bei Systemen zweiter Ordnung nicht existieren. Das Projekt strebt eine Klassifikation superintegrabler Systeme in Dimension 2 mit kubischen Integralen an. Bisher sind solche Systeme typischerweise nur unter der Annahme der Existenz spezieller separabler Koordinaten verstanden.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Australien
• Gastgeber: Professor Jonathan Kress, Ph.D.