Second order (conformally) superintegrable systems: classification, transformations and applications
Final Report Abstract
In der Physik und Mathematik spielen superintegrable Systeme eine wichtige Rolle. Zwei einfache Beispiele sind das Kepler-Coulomb-Potential und der Harmonische Oszillator, die wohl zu den wichtigsten Modellen der Naturwissenschaft gehören. Ein wesentliches Ziel dieses Projekts war es, die Geometrie superintegrabler Systeme zu beleuchten, sowohl eigentlicher wie auch konformer Systeme. Insbesondere war unser Ziel, das Thema von einer geometrischen Richtung anzugehen und dadurch Beschränkungen zu umgehen, die sich aus der traditionellen Herangehensweise ergeben. Traditionelle Methoden sind üblicherweise auf kleine Dimension, spezifische Geometrien oder spezielle Koordinatenwahlen beschränkt. Wir betten sowohl eigentliche als auch konforme superintegrable Systeme in beliebiger Dimension in ein formales Gefüge ein. Dazu führen wir zunächst ein kubisches Tensorfeld ein, welches das superintegrable System kodiert und welches wir daher seinen Strukturtensor nennen. Für eigentliche Systeme finden wir einfache, geometrische Gleichungen, die algebraisch auf dem Strukturtensor sind. Sie entstehen auf natürliche Weise und sind in beliebig hoher Dimension gültig. Dies ist das erste Hauptergebnis des Projekts. Für das Studium konformer Äquivalenz superintegrabler Systeme sind konform superintegrable Systeme der passende Rahmen, was auch tatsächlich freilegt, dass der Superintegrabilität eine reiche Geometrie zu Grunde liegt. Wir zeigen, dass der Strukturtensor natürlicherweise in zwei Komponenten zerfällt: Eine Komponente ist invariant unter konformen Transformationen. Die Spurkomponente ist dagegen das Differential einer Funktion und stellt im Wesentlichen die konforme Skalenfunktion dar. Das zweite Hauptergebnis des Projekts sind sehr einfache, algebraische Gleichungen auf der invarianten Komponente des Strukturtensors. Diese sind in beliebig hoher Dimension gültig. Außerdem finden wir invariante Gleichungen für die konforme Skalenfunktion, die auch als Krümmungs-Obstruktionsgleichungen für den Strukturtensor verstanden werden können. Als konform superintegrable Systeme sind eigentliche Systeme durch das Verschwinden eines spurfreien symmetrischen Tensorfelds vom Rang 2 charakterisiert. Für eigentlich superintegrable Systeme auf Raumen konstanter Krümmung zeigen wir, wie der Strukturtensor in zwei skalaren Funktionen kodiert werden kann. Diese erlauben jedoch eine gewisse Eichfreiheit, und für eine wichtige Klasse von Systemen existiert eine Eichwahl, welche eine der Funktionen redundant macht. Die verbleibende Funktion hat ein natürliches konformes Transformationsverhalten. In Dimension drei und höher haben wir eine gewisse Freiheit in der Wahl der anderen Strukturfunktion. Eine dieser Konventionen offenbart, dass konforme Äquivalenzklassen superintegrabler Systeme eine Quelle spezieller Funktionen sind. Genauer gesagt erhalten wir den Spurteil des Strukturtensors aus Eigenfunktionen des Laplace-Operators, die zudem noch mit dem invarianten Strukturtensor konsistent sein müssen. Wie bereits angedeutet finden wir im Rahmen der allgemeinen Gleichungen für Superintegrabilität in beliebiger Dimension, dass Dimension 2 in mehrerlei Hinsicht besonders ist. Die Strukturgleichungen in Dimension 2 unterscheiden sich drastisch von denen in höherer Dimension. Unsere einfachen Gleichungen für diese Dimension verallgemeinern die bekannten Gleichungen aus der Literatur. Analog zur konformen Äquivalenz superintegrabler Systeme führen wir ihre projektive Äquivalenz ein. Projektiv äquivalente Systeme können addiert werden. Die Geometrien folgen dabei einer bekannten, komplizierten Formel; Potentiale werden aber einfach summiert. Matveev-Geometrien (die eine eindeutige nicht-triviale projektive Symmetrie erlauben) liefern eine instruktive Klasse von Beispielen, die nicht-ausgeartete superintegrable Systeme erlauben, welche sowohl projektiv als auch konform äquivalent sind.
Publications
- (Super-)integrable systems associated to 2-dimensional projective connections with one projective symmetry, Journal of Geometry and Physics 145 (Nov 2019), 103476
Andreas Vollmer, G. Manno
(See online at https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2019.07.007) - An Algebraic Geometric Foundation for a Classification of Superintegrable Systems in Arbitrary Dimension
Andreas Vollmer, J. Kress, K. Schöbel
- Algebraic Conditions for Conformal Superintegrability in Arbitrary Dimension
Andreas Vollmer, J. Kress, K. Schöbel
- Projectively equivalent 2-dimensional superintegrable systems with projective symmetries. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 53, no. 9 (Feb 2020)
Andreas Vollmer
(See online at https://doi.org/10.1088/1751-8121/ab6fc5)
