Explizite Höhentheorie für hyperelliptische Jacobische
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt zielte auf die Verbesserung und Erweiterung von Methoden zur Lösung von Gleichungen der Form y^2 = f (x) in ganzen oder rationalen Zahlen, wobei f ein Polynom ist. Dies ist äquivalent zur Bestimmung der ganzzahligen oder rationalen Punkte auf der durch die Gleichung definierten Kurve. Kurven dieser Art heißen hyperelliptisch. Die meisten dieser Methoden beruhen darauf, dass die Kurve in ihre Jacobische Varietät eingebettet werden kann. Diese ist eine abelsche Varietät der Dimension, wobei das Geschlecht der Kurve ist (welches im hyperelliptischen Fall ungefähr die Hälfte des Grads von ist), sie hat also eine Gruppenstruktur. Um diese Einbettung ausnutzen zu können, müssen wir genug über die Gruppe der rationalen Punkte auf der Jacobischen wissen. Sie kann durch die Angabe endlich vieler Erzeuger beschrieben werden. Die Theorie der kanonischen Höhen ist ein unentbehrliches Werkzeug in der arithmetischen Theorie abelscher Varietäten. Neben einer Vielzahl theoretischer Anwendungen spielt die kanonische Höhe eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von Erzeugern der Gruppe der rationalen Punkte einer gegebenen abelschen Varietät. Dafür muss man die kanonische Höhe eines Punktes berechnen und alle Punkte mit beschränkter kanonischer Höhe aufzählen können. Die Bestimmung von Erzeugern ist z.B. nötig, um die Richtigkeit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für gegebene Beispiele numerisch überprüfen zu können. Solche Erzeuger sind außerdem besonders interessant, wenn die abelsche Varietät die Jacobische einer hyperelliptischen Kurve ist. Kennt man solche Erzeuger, dann gibt es nämlich effiziente Algorithmen für die Bestimmung der rationalen Punkte auf der Kurve mit beschränkter Höhe sowie für die Bestimmung aller ganzzahligen Punkte. Vor Beginn des Projekts war die explizite Theorie der Höhen auf Jacobischen hyperelliptischer a Kurven weitestgehend auf Kurven vom Geschlecht 2 oder 3 beschränkt. Der Hauptgrund für diese Beschränkung bestand darin, dass man zunächst eine explizite Theorie der Kummerschen Varietät, welche ein Quotient der Jacobischen ist, benötigt, diese vor Projektbeginn aber nur für Geschlecht höchstens 3 verfügbar war. Die kanonische Höhe ist nämlich auf der Kummerschen Varietät definiert. In diesem Projekt wurden einige für Geschlecht 2 und 3 bekannten Ergebnisse auf Geschlecht ausgeweitet, beginnend mit einer expliziten Theorie von Kummerschen Varietäten. Dies lieferte zum Einen explizite Formeln und effiziente Algorithmen für Geschlecht, mit den oben beschriebenen Anwendungen. Diese Algorithmen haben wir implementiert. Zum Anderen legen die expliziten Formeln Verallgemeinerungen für beliebiges Geschlecht nahe.
