Nicht-Gausssche Verteilung, Grenzen von Parametern in turbulenten Skalengesetzen - eine Analyse der Lundgren und der Hopf Gleichung der Turbulenztheorie mittels Lie Symmetrien
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im vorliegenden Projekt wurde die Symmetriebasierte Turbulenztheorie maßgeblich weiterentwickelt. Diese hat im Wesentlichen zum Ziel, einerseits, mit Hilfe der Methoden der Lie’schen Gruppentheorie die Symmetrien verschiedener mathematischer Beschreibungen der Turbulenz zu bestimmten, andererseits, solche Symmetrien zur Konstruktion von speziellen Ansatzfunktionen, sogenannten turbulenten Skalengesetzten zu verwenden. In diesem Projekt lag das Hauptaugenmerk konkret auf der Symmetrieanalyse der statistischen Beschreibung der Turbulenz auf Basis von drei verschiedenen Hierarchien von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDFen), welche die Statistik wesentlicher Feldgrößen bestimmen. Von besonderem Interesse waren hier im inkompressiblen Fall, erstens, die WDFs für die (absolute) Strömungsgeschwindigkeit, zweitens, die WDFen der Wirbelstärke, sowohl im zwei- als auch im drei-dimensionalen Fall, sowie, drittens, die WDFs der Geschwindigkeitsinkremente. Die Übertragung der hierbei verwendeten Analysestrategie auf den Fall der WDFen der Geschwindigkeitsinkremente führte zu identischen Ergebnissen wie für jene für die absoluten Geschwindigkeiten. Die erhaltenen Symmetrieausdrücke entsprachen denen für die Hierarchie der WDFen der Geschwindigkeiten nach Anwendung einer Koordinatentransformation, die die beiden Hierarchien ineinander überführt. Bei der Analyse der Gleichungshierarchie der WDFen der Wirbelstärke in 2D stand die Frage nach der möglichen Existenz der Gruppe der konformen, d.h. winkelerhaltenden Transformationen als Untergruppe der vollen Symmetriegruppe der Hierarchie im Vordergrund. Diese Vermutung konnte für die eigentliche Hierarchie nicht bestätigt werden, jedoch konnte als Teilergebnis die konforme Invarianz der Gleichung entlang von Isolinien der Wirbelstärke gezeigt werden. Verschiedene Versuche, erweiterte Symmetriekonzepte zu verwenden bzw. eine Erweiterung der bisher verwendeten Analysemethode für Integro-Differentialgleichungen zu entwickeln, waren nicht erfolgreich. Die im Projektverlauf aufgeworfene Frage nach der Übertragbarkeit der bisherigen Methoden auf die analogen Gleichungshierarchien für kompressible Strömungen wurde bearbeitet. Hierzu rückte eine andere mathematische Formulierung der Turbulenz über sogenannte charakteristische Funktionen (CF) in den Vordergrund. Für den kompressiblen Fall wurden daher zunächst sowohl die entsprechenden Gleichungshierarchien für die WDFen als auch die für die zugehörigen CFen hergeleitet. In einem zweiten Schritt wurde die Symmetrieanalyse der erhaltenen Hierarchie für die CFen durchgeführt. Hierbei wurden jedoch wiederum nur die a priori zu erwartenden Symmetrien, die Symmetrien der zugrundeliegenden physikalischen Gleichungen sowie die Symmetrien aufgrund der sich natürlich ergebenden Linearität der statistischen Bewegungsgleichungen gewonnen. Hinsichtlich der zweiten zentralen Fragestellung des Projektes, der Herleitung invarianter Lösungen der WDF-Hierarchien mit Hilfe von Symmetriemethoden, den sogenannten turbulenten Skalengesetzen, konnten hierbei explizit solche Lösungen gewonnen werden. Unter Verwendung von Skalensymmetrien in Zeit und Raum sowie von statistischen Symmetrien, die der statistischen Beschreibung inhärent sind, wurde eine vollständige Hierarchie invarianter WDF konstruiert, die insbesondere für die Beschreibung wandparalleler Strömungen von Interesse ist. Als erster Test dieser Skalengesetze wurden die theoretischen Ausdrücke mit den Daten einer direkten numerischen Simulation (DNS) verglichen. Dazu wurden die im Modell enthaltenen freien Parameter mit Hilfe eines Fitting-Algorithmus durch die DNS-Daten bestimmt. Ein erster Vergleich zeigt eine sehr gute Übereinstimmung der theoretischen WDF-Ausdrücke mit den Simulationsdaten, zumindest in einem begrenzten räumlichen Bereich. Allerdings ist dieser räumliche Bereich, in dem die WDF-Ausdrücke eine gute Näherung darstellen, weniger stark ausgeprägt als im vergleichbaren Fall der analog hergeleiteten Skalengesetze für die Momente der stromabwärts gerichteten Geschwindigkeitsmomente. Ein analoger Vergleich der Theorie mit Daten aus Simulationen oder Experimenten von Strömungen in anderen Konfigurationen wurde noch nicht betrachtet.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Conformal invariance of the zero-vorticity Lagrangian path in 2D turbulence. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 52(33), 335501.
Grebenev, V. N.; Wacławczyk, M. & Oberlack, M.
-
Conformal Invariance of Characteristic Lines in a Class of Hydrodynamic Models. Symmetry, 12(9), 1482.
Wacławczyk, Marta; Grebenev, Vladimir N. & Oberlack, Martin
-
The hierarchy of multi-point probability density functions and characteristic functions in compressible turbulence. Physics of Fluids, 32(6).
Praturi, Divya Sri; Plümacher, Dominik & Oberlack, Martin
-
Second-order invariants of the inviscid Lundgren–Monin–Novikov equations for 2d vorticity fields. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, 72(3).
Grebenev, V. N.; Grichkov, A. N.; Oberlack, M. & Wacławczyk, M.
-
On the Lie symmetries of characteristic function hierarchy in compressible turbulence. European Journal of Applied Mathematics, 34(5), 913-935.
PRATURI, D.S.; PLÜMACHER, D. & OBERLACK, M.
-
Turbulence Statistics of Arbitrary Moments of Wall-Bounded Shear Flows: A Symmetry Approach. Physical Review Letters, 128(2).
Oberlack, Martin; Hoyas, Sergio; Kraheberger, Stefanie V.; Alcántara-Ávila, Francisco & Laux, Jonathan
