Automorphisms and endomorphisms of locally compact groups
Final Report Abstract
Ein Endomorphismus f einer lokalkompakten topologischen Gruppe G heißt kontraktiv, wenn alle f-Bahnen gegen das Neutralelement konvergieren. Ist f ein kontraktiver Automorphismus, so nennt man (G,f) eine lokalkompakte Kontraktionsgruppe. Jede solche ist ein direktes Produkt der Zusammenhangskomponente, endlich vieler p-adischer Liegruppen und einer total una zusammenhängenden Torsionsgruppe T (die alle f-invariant sind). Die Struktur der Zusammenhangskomponente und der p-adischen Faktoren ist bekannt; insb. sind diese nilpotent. Die Torsionsgruppe erlaubt eine Kompositionso reihe f-invarianter Untergruppen, wobei die möglichen Kompositionsfaktoren parametrisiert sind durch die einfachen endlichen Gruppen, eine abzählbare Menge. Ist T lokal pro-p (gibt es also eine offene kompakte Untergruppe, die eine pro-p-Gruppe ist), so sind alle Faktoren isomorph zur additiven Gruppe A des Körpers der formalen Laurentreihen über dem Körper der Ordnung p, versehen mit dem kontraktiven Automorphismus, der mit der formalen Unbestimmten multipliziert. In Forschung mit G. A. Willis wurde im Projekt gezeigt, dass es daher nur abzählbar viele abelsche Torsions-Kontraktionsgruppen gibt, parametrisiert durch die endlichen abelschen Gruppen; jedoch gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe Kontraktionsgruppen, welche Torsionsgruppen sind. Es wurde gezeigt, dass für jede Erweiterung lokalkompakter Kontraktionsgruppen ein stetiger äquivarianter Schnitt existiert, sich also insbesondere abelsche Erweiterungen durch Kohomologieklassen stetiger äquivarianter 2-Kozykel beschreiben lassen. Im Falle einer Erweiterung G von A durch A (wie oben) wurde 2014 von P.-E. Caprace gefragt, ob G stets nilpotent ist. Mit Willis konnte dies im Projekt nachgewiesen werden; allgemeiner ist jede Kontraktionsgruppe, welche lokal pro-p (oder auch nur lokal pro-nilpotent) ist, stets nilpotent. Auch wurden im Projekt analytische Endomorphismen f von Liegruppen G über total unzusammenhängenden lokalen Körpern und zugehörige invariante Untergruppen studiert. Anders als für Automorphismen braucht die Kontraktions-Untergruppe C von f hier nicht nilpotent zu sein. Es existiert eine Mannigfaltigkeitsstruktur, die C zu einer immersierten Lie-Untergruppe K von G macht. In Charakteristik 0 ist K modulo der Vereinigung der Kerne der Potenzen von f stets nilpotent und lässt sich als offene Untergruppe in eine p-adische Kontraktionsgruppe einbetten.
Publications
- Locally pro-p contraction groups are nilpotent
Glöckner, H. und G. A. Willis
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.10999) - Contraction groups and the big cell for endomorphisms of Lie groups over local fields
Glöckner, H.
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2101.02981) - Decompositions of locally compact contraction groups, series and extensions, Journal of Algebra 570 (2021), 164–214
Glöckner, H. und G. A. Willis
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.11.007)
