Zugang zu nichtkonvexen und nichtlinearen Optimalsteuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont über gewichtete Funktionenräume: Stabilisierung, numerische Analysis, biomedizinische Anwendungen.

• Antragstellerinnen: Dr. Valeriya Lykina; Professorin Dr. Sabine Pickenhain
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Epidemiologie und Medizinische Biometrie/Statistik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 387882680

Im Projekt werden biomedizinische Modelle als Probleme der optimalen Steuerung über einem unendlichen Zeithorizont formuliert und behandelt. Unter diesen werden zwei Problemklassen betrachtet: Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont für 1) die kombinierte chemotherapeutische-antiangiogenische Krebsbehandlung; 2) die nichtpharmazeutische epidemiologische Intervention mit nichtkonvexen Isolationskosten. Das Einbeziehen eines unendlichen Planungsintervalls für die bio-medizinischen Modelle wurde in den Vorgängerprojekten untersucht und stellt einen wichtigen und herausfordernden mathematischen Aspekt dar, dessen Einführung sich als eine geeignete Idealisierung für Nachhaltigkeitsprinzipien herausgestellt hat, die gegenwärtig und in Zukunft für die Gesellschaft immer wichtiger werden. Eine wichtige Modellannahme, die zu einer Problemformulierung mit unendlichem Zeithorizont führt, ist, dass der Endzeitpunkt einer Epidemie nicht genau bekannt ist. Ein anderer wesentlicher Aspekt kommt aus der Zielstellung der asymptotischen Stabilisierung des dynamischen Systems. Beispielsweise versuchen die Entscheidungsträger während einer Epidemie die Zahl der Neuinfektionen auf einem gewissen niedrigen Niveau zu stabilisieren. Beide Ziele, das der Optimierung und das der Stabilisierung sind in einem Zielfunktional mit unendlichem Zeithorizont zu vereinen. Neben dem unmittelbaren Interesse an optimalen Langzeitstrategien - welches aus dem entsprechenden Anwendungsgebiet kommt - sollen die formulierten Modelle ebenfalls als Testprobleme dienen, die helfen, mathematische Phänomene zu verstehen und zu veranschaulichen. Die Ziele des Projektes beinhalten sowohl theoretische Aspekte der Lösung von nichtkonvexen Steuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont mit Hilfe von Relaxationstechniken als auch die Entwicklung einer geeigneten numerischen Lösungsmethode, welche aufgrund der Nichtlinearität des Systems als äußerst wichtig erscheint. Der erste Teil basiert auf den Relaxationsideen von Gamkrelidze, angewandt auf die betrachtete Problemklasse und auf dem Dualitätskonzept von Klötzler, angepasst an die Problemformulierung in gewichteten Funktionenräumen. Herleitung und Beweis von hinreichenden Optimalitätsbedingungen und eines Maximumprinzips vom Pontryaginschen Typ sind die wichtigsten theoretischen Ziele in diesem Teil. Der zweite Teil beinhaltet die Entwicklung einer Pseudospektralmethode zur numerischen Lösung der primalen wie der dualen Aufgaben, welche die Konzepte der Dualitätstheorie und die Relaxationstechniken verbindet. Insbesondere Stabilisierungsaufgaben mittels relaxierter Steuerungen im Kontext des funktionalanalytischen Zugangs zu lösen, stellt ein herausforderndes Forschungsneuland dar. Aus der Sicht der Praxis ist es besonders wichtig, die so genannten "Dithering"- Lösungen für nichtkonvexe Steuerungsprobleme aufzufinden und ihre Bedeutung in biomedizinischen Anwendungen zu verstehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen