Charakteranzahlen und Cartanmatrizen von Blöcken mit abelschen Defektgruppen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Benjamin Sambale
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 390541063

In vielen Naturwissenschaften modelliert man Symmetrien von Objekten durch mathematische Gruppen. In der Darstellungstheorie realisiert man abstrakte Gruppen durch konkrete Matrizen, um sie Berechnungen zugänglich zu machen. Jede solche Darstellung zerlegt sich in irreduzible Bestandteile, die man Blöcken zuordnet. Die irreduziblen Darstellungen sind im Wesentlichen durch ihre Charaktere bestimmt, von denen es nur endlich viele gibt. Nach Richard Brauer wird die Anzahl der Charaktere in einem vorgegebenen Block stark durch die Struktur lokaler Untergruppen beeinflusst. Zu diesen zählen die Defektgruppe und die Trägheitsgruppe. Der genaue Zusammenhang dieser Objekte ist Gegenstand zahlreicher offener Vermutungen von Alperin, Brauer, Dade, McKay, Olsson und anderen. Forschergruppen auf der ganzen Welt arbeiten an der Lösung dieser Probleme (USA, Japan, China, Singapur, Neuseeland, Israel, UK, Irland, Ungarn, Italien, Spanien, Frankreich, Dänemark, Schweiz, Deutschland).In diesem Projekt soll Brauers k(B)-Vermutung für Blöcke mit abelschen Defektgruppen untersucht werden. Das Arbeitsprogramm orientiert sich an der Lösung des k(GV)-Problems. Es sind außerdem Fortschritte zum Stand von Broués Vermutung in kleinen Fällen geplant. Auf diese Weise soll ein wichtiger Beitrag zu einem aktuellen Gebiet der Darstellungstheorie endlicher Gruppen geleistet werden. Neben Brauers Methoden und der klassischen Theorie der quadratischen Formen kommen vor allem moderne Werkzeuge wie die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen und neuere Resultate über koprime lineare Gruppen zum Einsatz. Außerdem sind Computerberechnungen für die Konstruktion perfekter Isometrien, Isotypien und Cartanmatrizen vorgesehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen