Harnessing the geometry of tensor networks for the simulation of complex quantum matter

• Applicants: Professor Dr. Jens Eisert; Professor Dr. Reinhold Schneider
• Subject Area: Theoretical Condensed Matter Physics ; Mathematics
• Term: from 2018 to 2022
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 395147082

• Final Report Year: 2025

Final Report Abstract

Das vorliegende Projekt befasst sich mit dem Problem der Approximation mit Tensoren niedrigen Rangs bzw. Tensornetzwerken zur Mehrteilchen-Schrödingergleichung mit Anwendungen in der Quantenchemie. Im Laufe der Arbeit an diesem Projekt kam es über die Schrödingergleichung hinaus zu wesentlichen Verbesserungen der Tensormethoden zur numerischen Behandlung räumlich hochdimensionaler partieller Differentialgleichungen bzw. zur Approximation hochdimensionaler Funktionen. Derartige hochdimensionale Probleme unterliegen bei naiver Behandlung dem sogenannten Fluch der Dimensionen, d. h. die Anzahl der erforderlichen Freiheitsgrade wächst exponentiell mit der Anzahl der Variablen. Dieses ungünstige Skalierungsverhalten versucht man in diesem Fall durch nichtlineare Parametrisierungen in Form hierarchischer Tensordarstellungen oder baumartiger Tensornetzwerke, u. a. sogenannter Tensor Trains, auch bekannt als Matrix Product States, zu vermeiden. Herr Götte hat sich zunächst der Behandlung der elektronischen Schrödingergleichung intensiv gewidmet und alternativ zu ALS/DMRG geometrische Methoden der Riemannschen Optimierung zur Berechnung der Grundzustandsenergie, einem Eigenwertproblem, entwickelt. Die geometrischen Methoden erwiesen sich in den gerechneten Beispielen lediglich als marginal erfolgreich. Sehr erfolgreich und vorteilhaft war hingegen die Einbeziehung einfacher Symmetrien, wie u. a. der Elektronenzahl, sowie die Entwicklung eines Blockformats mit nur wenigen nichttrivialen Blöcken. Dies brachte in der Folge eine wesentliche Verbesserung von Tensormethoden für Multipolynome (spectral tensor trains), dem Standardansatz zur Behandlung parametrischer Differentialgleichungen, sowie von Tensor-Methoden zur Lösung der hochdimensionalen Hamilton-Jacobi-Bellman-(HJB-)Gleichung. Zur Behandlung von Regressionsproblemen erwies sich der SALSA-Ansatz als besonders vorteilhaft. Damit wurden den anderen Entwicklungen der Arbeitsgruppe und den daran beteiligten Mitarbeitern sowie Kollegen, die an Tensormethoden arbeiten, entscheidende Verbesserungen und Impulse geliefert.

Publications

• Tensor network approaches for learning non-linear dynamical laws, NeurIPS2020-Tensorworkshop
  A. Goeßmann, M. G¨ tte, I. Roth, R. Sweke, Ryan, G. Kutyniok & J. Eisert
  
• A Block-Sparse Tensor Train Format for Sample-Efficient High-Dimensional Polynomial Regression. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics, 7.
  Götte, Michael; Schneider, Reinhold & Trunschke, Philipp
  
• Applications of tensor networks in quantum chemistry and polya nomial regression. Dissertation Technische Universität Berlin (Germany)
  M. Götte
  
• Particle number conservation and block structures in matrix product states. Calcolo, 59(2).
  Bachmayr, Markus; Götte, Michael & Pfeffer, Max
  
• A quantum inspired approach to learning dynamical laws from data—block-sparsity and gauge-mediated weight sharing. Machine Learning: Science and Technology, 5(2), 025064.
  Fuksa, J.; Götte, M.; Roth, I. & Eisert, J.