Analysis auf Graphen - Begegnungen von Mathematischer Physik, Diskreter Mathematik und Theoretischer Informatik

• Antragsteller: Professor Dr. Delio Mugnolo
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 397230547

Dieses Projekt ist die Fortsetzung eines von der DFG zwischen September 2018 und August 2021 geförderten Forschungsprogramms, mit dem verschiedene Eigenschaften des Laplace-Operators auf Netzwerken untersucht werden sollen. In dieser vorgeschlagenen Fortsetzung wird unser Forschungsprojekt drei thematische Cluster aufgreifen und weiter ausbauen. Unsere Untersuchungen werden durch mathematische Objekte, Modelle und Konzepte motiviert, die auch in der theoretischen Physik und Informatik auftauchen. Unsere Studien werden von bekannten Ergebnissen für höherdimensionale Gebieten inspiriert sein, nutzen jedoch die günstige 1D-Struktur von metrischen Graphen, um analytische Ergebnisse und explizite Formeln zu liefern. Die folgende Liste von Zielen bildet das Rückgrat meines Forschungsprogramms:- Netzwerktopologie und geometrische Aspekte von Diffusionsgleichungen. Wir werden eine Studie über die Abhängigkeit der Wärmekerne von metrischen und topologischen Merkmalen von Netzwerken initiieren.- Spektral- und Partitionsgeometrie von Netzwerken. Wir werden systematisch den Einfluss kombinatorischer und metrischer Größen auf Laplace-Eigenwerte und spektrale Minimalenergien untersuchen.- Variationsansätze für Netzwerkpartitionierung und Datenclustering. Wir werden innovative Ansätze zur Partitionierung und Segmentierung in Netzwerken untersuchen, die auf Wärmekernen und Eigenwerten basieren.Um diese Ziele zu verfolgen, werden wir die spektralgeometrischen Untersuchungen der ersten Phase weiter schärfen: Wir werden eine geometrische Theorie der Eigenfunktionen entwickeln, den Einfluss der Netzwerktopologie auf ihre Nodalgebiete diskutieren und die spektralen Implikationen verschiedener metrischer und kombinatorischer Invarianten von möglicherweise unendliche Netzwerke untersuchen.Die systematische Analyse der Eigenschaften von Wärmekernen in Abhängigkeit von der Netzwerktopologie ist für unser Projekt von entscheidender Bedeutung. Zu diesem Zweck werden wir die systematische Untersuchung der Torsionssteifigkeit in Netzwerken einleiten: Dieses klassische Objekt wird uns helfen, die Distanz zwischen spektralen und parabolischen Untersuchungen zu überbrücken.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen