Free boundary propagation and noise: analysis and numerics of stochastic degenerate parabolic equations
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurde analytisch und numerisch der Einfluss von Rauschen auf die Ausbreitung freier Ränder bei stochastischen Varianten degeneriert parabolischer Gleichungen untersucht. Speziell wurden stochastische Poröse-Medien-Gleichungen, stochastische parabolische p-Laplace-Gleichungen und stochastische Dünne-Filme-Gleichungen betrachtet. Von Interesse waren nur fast sicher global nichtnegative Lösungen, sodass sich das Projekt auf multiplikatives Rauschen konzentrierte, das über Quell- oder konvektive Terme in die Gleichungen eingeht. Folgende Resultate konnten gezeigt werden. • Stochastische parabolische p-Laplace-Gleichung: Existenzbeweis von Martingallösungen unter Itô-Kalkül bei Quelltermrauschen mit superlinearem Wachstum; Formulierung eines volldiskreten numerischen Verfahrens zur Approximation o.g. Martingallösungen (inkl. Konvergenzbeweis); Skalierungsübergang der Ausbreitungsraten des Trägers bei Quelltermrauschen mit sublinearem Wachstum auf Basis von Monte-Carlo-Simulationen; analytisch rigoroser Nachweis von endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit bei stochastischen parabolischen p-Laplace-Gleichungen mit multiplikativ linearem Quelltermrauschen; rigoroser Nachweis hinreichender Bedingungen an das Wachstum der Anfangsdaten für das Auftreten von Wartezeitenphänomenen, die sich nur durch einen logarithmischen Korrekturterm von den optimalen Bedingungen im Deterministischen unterscheiden. • Stochastische Poröse-Medien-Gleichung mit konservativem nichtlinearen Quelltermrauschen in Itô-Formulierung: Existenzbeweis von f.s. nichtnegativen, pfadweise eindeutigen Martingallösungen in 1D für spezielle Nichtlinearitaten mit Wachstum der Ordnung (m+1)/2; Skalierungsübergang im empirischen Mittelwert der Dauer von Wartezeiten auf Basis von Monte-Carlo-Simulationen. • Stochastische Poröse-Medien-Gleichung in Itô-Formulierung mit multiplikativem Quelltermrauschen von linearem Wachstum: analytisch rigorose Identifikation von Bedingungen an das Wachstum der Anfangsdaten, die die instantane Ausbreitung des Trägers von Lösungen garantieren. • Stochastische Dünne-Filme-Gleichung: Existenz von Lösungen bei oberflächenspannungsgetriebenen stochastischen Dünne-Filme-Gleichungen unter Stratonovich-Kalkül für konservatives, nichtlinear multiplikatives Rauschen (das insbesondere den Fall von “no-slip”-Randbedingungen einschließt); Formulierung eines semi-diskreten Finite-Element-Schemas zur Diskretisierung der stochastischen Dünne-Filme-Gleichung in zwei Raumdimensionen und Konvergenzbeweis gegen f.s. nichtnegative Martingallösungen - erstes Existenzresultat in zwei Raumdimensionen.
Publications
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Free-boundary problems and noise: analysis and numerics of stochastic porous-medium equations and of stochastic parabolic p-Laplace equations, Dissertation, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Erlangen, 2020
H. Grillmeier
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Nonnegative martingale solutions to the stochastic thin-film equation with nonlinear gradient noise, Arch. Ration. Mech. Anal., 242:179–234, 2021
K. Dareiotis, B. Gess, M. V. Gnann und G. Grün
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On stochastic porous-medium equations with critical-growth conservative multiplicative noise, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A, 41(6):2829–2871, 2021
N. Dirr, H. Grillmeier und G. Grün
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Existence of nonnegative solutions to stochastic thin-film equations in two space dimensions. Interfaces Free Bound., 2022, 70 pages
S. Metzger und G. Grün
