Representability Conditions and Correlations
Final Report Abstract
Dieses Forschungsprojekt behandelt Darstellbarkeitsbedingungen. Im Kontext wechselwirkender Fermionensysteme sind dies mathematische Bedingungen, die die 4-Punktsfunktion einer Dichtematrix eines Fermionensystems notwendigerweise erfüllt. Wenn genügend viele solcher Darstellbarkeitsbedingungen bekannt sind, kann auch umgekehrt nachgeprüft werden, ob eine gegebene Familie {rk, ,m,n }k, ,m,n ⊆ C komplexer Zahlen als 4-Punktsfunktion Tr(ρAk A Am An ) einer fermionischen Dichtematrix ρ darstellbar ist, d.h. ob eine fermionische Dichtematrix ρ existiert, sodass rk, ,m,n = Tr(ρAk A Am An ) für alle k, , m, n gilt. Ziel der Theorie der Darstellbarkeit ist die Identifikation möglichst weniger und möglichst einfacher Bedingungen, die einen Rückschluss auf die Darstellbarkeit zulassen. Im ersten Teil des Forschungsprojekts wurde eine spezielle Orthonormalbasis des Raums O = L2 [Ff (h)] der Hilbert-Schmidt-Operatoren eines fermionischen Fock-Raums Ff [h], der von einem endlich-dimensionalen Hilbert-Raum h ≅ Cn , n < ∞ erzeugt wird, konstruiert, wobei die Einschränkung auf endliche Dimensionen n ∈ N nicht wirklich problematisch ist. Die Konstruktion startet von einer konkreten Orthonormalbasis des Einteilchen-Hilbert-Raums h und führt im Hauptresultat auf eine Orthonormalbasis B =⊆ L2 [Ff (h)] des Raums aller Observablen, die die (von Erdahl eingeführten) Projektionen πk auf die k-Teilchen-Operatoren respektiert. Im zweiten Projektteil wurde ein durch einen Hamilton-Operator H = T +g/2 V definiertes Vielfermionensystem untersucht. Dabei sind T der zweitquantisierte Einteilchenoperator, V ≥ 0 das zweitquantisierte repulsive Paarpotenzial und g > 0 eine kleine Kopplungskonstante. Nach Festlegung der Teilchenzahl N und Konjugation mit einer geeigneten Bogoliubov-Transformation U nimmt der Hamilton-Operator die Gestalt H = UHU∗ = EHF + THF + g Q² an, wobei EHF die Hartree-Fock-Energie des zugehörigen N-Fermionensystems und THF ≥ 0 der zugehörige zweitquantisierte effektive Einteilchenoperator der Hartree-Fock-Theorie sind. Schließlich ist Q die transformierte Wechselwirkung, die alle quartischen Terme in den Feldoperatoren enthält. Eine scheinbar natürliche Strategie ist, den quartischen Operator in zwei Teile Q = Qmain + Qrem zu zerlegen, sodass Qmain ≥ 0 repulsiv ist und Qrem relativ beschränkte Störung von THF + g Qmain mit kleiner relativer Schranke ist. Das Hauptresultat dieses zweiten Projektteils ist jedoch, dass das nicht möglich ist. Anhand eines Gegenbeispiels wird demonstriert, dass Q stets indefinite Teile enthält, die keine im thermodynamischen Limes universelle relative Schranke erlauben.
Publications
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Orthogonalization of fermionk-body operators and representability. Physical Review A, 99(4).
Bach, Volker & Rauch, Robert
