Ränder, Greensche Formeln und harmonische Funktionen für Graphen und Dirichleträume - follow up

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Keller; Professor Dr. Daniel Lenz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 400186281

Ein Dirichletraum besteht aus einem lokalkompakten metrischen Raum zusammen mit einer Dirichletform. Beispiele schliessen (gewichtete) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Fraktale und Graphen ein. Jede Dirichletform liefert einen selbstadjungierten Operator, den Erzeuger, und einen Markovprozess. Im Falle von Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist der Generator der Laplace-Beltrami Operator und der Markovprozess die Brownsche Bewegung. Im Rahmen von Dirichleträumen gibt es ein starkes Wechselspiel zwischen geometrischen Eigenschaften des Raumes, Spektraltheorie des Erzeugers und stochastischen Eigenschaften des Markovprozesses. Im Projekt wird dieses Wechselpiel in zwei Zugängen untersucht. Ein Zugang zielt auf globale geometrische Eigenschaften und zugehörige spektrale und stochastische Eigenschaften ab und stellt die Kompaktifizierung mittel Royden Rand, Randterme und Greensche Formeln ins Zentrum. Der andere Zugang zielt auf lokalere geometrische Eigenschaften ab und stellt harmonische Funktionen und (verallgemeinerte) Eigenfunktionen ins Zentrum. Die beiden Zugänge hängen zusammen und die Erforschung dieses Zusammenhanges wird weitere Erkenntnisse bringen. Das Projekt wird sich vor allem dem nicht-glatten, nicht-lokalen Fall von Graphen widmen. Dabei sollen aber Argumente gesucht werden, die für den allgemeinen Fall von Dirichleträumen gelten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Dr. Marcel Schmidt