Loewner theory and non-commutative probability theory
Final Report Abstract
Das Hauptergebnis dieses Projekts besteht aus der Arbeit “Monotone Increment Processes, Classical Markov Processes, and Loewner Chains” mit U. Franz und T. Hasebe. Wir zeigen, dass es eine Eins-zu- Eins-Korrespondenz zwischen Loewner-Ketten, die aus F-Transformationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen bestehen, bestimmten Markov-Ketten und Prozessen mit monoton unabhängigen Zuwächsen gibt. Darüber hinaus folgt daraus, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß genau dann in einen Prozess mit monoton unabhängigen Zuwächsen eingebettet werden kann, wenn seine F-Transformation injektiv ist. Wir beweisen die analogen Ergebnisse für radiale Loewner-Ketten und Prozessen mit monoton unabhängigen multiplikativen Zuwächsen, bestehend aus unitären Operatoren. Zudem geben wir mehrere probabilistische Interpretationen geometrischer und analytischer Eigenschaften von F-Transformationen (bzw. Cauchy-Transformationen). Probabilistische Interpretationen konformer Schlitzabbildungen und höherdimensionaler radialer Loewner- Ketten zeige ich in den Preprints “Problems related to conformal slit-mappings” und “A quantum remark on biholomorphic mappings on the unit ball”. In meiner Publikation “Loewner’s Differential Equation and Spidernets” konstruiere ich eine Approximationen gewisser Prozesse mit monoton unabhängigen Zuwächsen über die Adjazenzmatrizen wachsender Graphen, welche als Kammprodukte von “Spnnennetzen” gebildet werden. Genauso wie ein klassischer random walk eine Brownsche Bewegung approximiert, können diese Graphen als “monotone random walks” betrachtet werden. Weitere Ergebnisse betreffen das Verhältnis von frei unendlich teilbaren Verteilungen zu Loewner-Ketten.
Publications
- A quantum remark on biholomorphic mappings on the unit ball
S. Schleißinger
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1811.03381) - Problems related to conformal slit-mappings
I. Hotta, S. Schleißinger
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1811.12046) - Loewner’s Differential Equation and Spidernets, Complex Analysis and Operator Theory 13 (2019) 3899-3921
S. Schleißinger
(See online at https://doi.org/10.1007/s11785-019-00939-6) - Limits of radial multiple SLE and a Burgers-Loewner differential equation, Journal of Theoretical Probability (2020)
I. Hotta, S. Schleißinger
(See online at https://doi.org/10.1007/s10959-020-00996-0) - Monotone Increment Processes, Classical Markov Processes, and Loewner Chains, Dissertationes Mathematicae, vol. 552 (2020)
U. Franz, T. Hasebe, S. Schleißinger
(See online at https://doi.org/10.4064/dm808-1-2020)
